MTR Multisensorsysteme: Alpha-Beta-Filter

Dozent:	Prof. Dr.-Ing. Schneider
Modul	Multisensorsysteme (Wahlpflichtprofil „Systems Design Engineering“), Wintersemester
Modulbezeichnung:	MTR-B-2-7.10
Modulverantwortung:	Ulrich Schneider
Lehrveranstaltung:	Praktikum Multisensorsysteme
Lektionen:	14 - Alpha-Beta-Filter

Einleitung

Das Alpha-Beta-Filter gehört zur Klasse der rekursiven Schätzverfahren zur Zustandsschätzung dynamischer Systeme und stellt eine vereinfachte Sonderform des Kalman-Filters dar. Es wird insbesondere zur Glättung verrauschter Messdaten sowie zur Schätzung von Position und Geschwindigkeit bewegter Objekte eingesetzt, wenn ein lineares Bewegungsmodell und additive Messstörungen vorliegen. Aufgrund seiner geringen rechnerischen Komplexität und der anschaulichen Parametrisierung findet das Alpha-Beta-Filter bis heute Anwendung in Echtzeitsystemen, etwa in der Radar- und Zielverfolgung, Navigation oder industriellen Sensorik.

Ausgangspunkt des Alpha-Beta-Filters ist ein diskretes lineares Bewegungsmodell mit konstanter Geschwindigkeit. Der Systemzustand wird typischerweise durch die Position und deren zeitliche Ableitung beschrieben, während die Messung lediglich die Position liefert. Im Gegensatz zum vollständigen Kalman-Filter wird auf eine explizite Modellierung der Störstatistiken in Form von Kovarianzmatrizen verzichtet. Stattdessen erfolgt die Gewichtung von Modellvorhersage und Messkorrektur über zwei konstante Verstärkungsparameter, α und β. Diese bestimmen maßgeblich das Filterverhalten hinsichtlich Rauschunterdrückung, Dynamik und Verzögerung.

Das Alpha-Beta-Filter lässt sich als Prädiktor-Korrektor-Verfahren interpretieren. In der Prädiktionsphase wird der aktuelle Zustand unter Verwendung des Bewegungsmodells in die Zukunft extrapoliert. Anschließend wird der Innovationsfehler zwischen der vorhergesagten Position und der aktuellen Messung berechnet und zur Korrektur von Position und Geschwindigkeit herangezogen. Der Parameter α steuert dabei den Einfluss des Innovationsfehlers auf die Positionsschätzung, während β den Einfluss auf die Geschwindigkeit bestimmt. Durch geeignete Wahl dieser Parameter kann ein Kompromiss zwischen Messrauschunterdrückung und schneller Reaktion auf Zustandsänderungen erzielt werden.

Theoretisch kann das Alpha-Beta-Filter als stationärer Kalman-Filter für ein spezielles Systemmodell interpretiert werden, bei dem die Kalman-Verstärkung zeitlich konstant ist. Unter bestimmten Annahmen über das Verhältnis von Prozess- zu Messrauschen lassen sich die Parameter α und β sogar direkt aus den zugrunde liegenden Rauschstatistiken ableiten. Diese Verbindung macht das Alpha-Beta-Filter zu einem didaktisch wertvollen Bindeglied zwischen einfachen gleitenden Mittelwertfiltern und dem allgemeinen Kalman-Filter.

Zusammenfassend stellt das Alpha-Beta-Filter ein effizientes und praxisnahes Verfahren zur Zustandsschätzung dar, das trotz seiner konzeptionellen Einfachheit wesentliche Prinzipien moderner Schätztheorie verkörpert. Es eignet sich sowohl für den Einsatz in ressourcenbeschränkten Systemen als auch als Einstieg in weiterführende Filterverfahren wie das Alpha-Beta-Gamma-Filter oder den Kalman-Filter.

Alpha-Beta-Filter

Das Alpha-Beta-Filter ist ein rekursives lineares Schätzverfahren zur Bestimmung von Position und Geschwindigkeit eines bewegten Objekts aus verrauschten Positionsmessungen. Es stellt eine vereinfachte, stationäre Form des Kalman-Filters für ein lineares Bewegungsmodell mit konstanter Geschwindigkeit dar.

Systemmodell

Es wird ein diskretes Zeitmodell mit konstanter Abtastzeit $\mathrm{\Delta }t$ angenommen.

Zustandsvektor

Der Systemzustand besteht aus Position und Geschwindigkeit: $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_k\\ v_k\end{array}\right]$

Prädiktion

Das Systemmodell für die Prädiktion lautet: ${\mathbf{x}}^{*}(k+1|k)=\left[\begin{array}{cc}1& \mathrm{\Delta }t\\ 0& 1\end{array}\right]\cdot \hat{\mathbf{x}}(k)$

Explizit:
$x^{*}(k+1|k)=\hat{x}(k)+\mathrm{\Delta }t\cdot \hat{v}(k)$
$v^{*}(k+1|k)=\hat{v}(k)$

Messmodell

Es wird angenommen, dass nur die Position gemessen wird:

$z(k)=x(k)+w(k)$

mit dem Messrauschen $w(k)$.

Innovationsbildung

Die Innovation (Residuum) ergibt sich als Differenz zwischen Messung und Vorhersage:

$r(k)=z(k)-x^{*}(k+1|k)$

Korrekturgleichungen

Die Korrektur des Zustands erfolgt mithilfe der konstanten Verstärkungsparameter $\alpha$ und $\beta$.

Positionskorrektur

$\hat{x}(k+1)=x^{*}(k+1|k)+\alpha \cdot r_k$

Geschwindigkeitskorrektur

$\hat{v}(k+1)=v^{*}(k+1|k)+\frac{\beta }{\mathrm{\Delta }t}\cdot r(k)$

Bedeutung der Filterparameter

$\alpha$ bestimmt den Einfluss der Messung auf die Positionsschätzung

$\beta$ bestimmt den Einfluss der Messung auf die Geschwindigkeits­schätzung

Typischerweise gilt:

$0<\alpha <1$ und $0<\beta <2$

Große Werte führen zu schneller Reaktion, kleine Werte zu stärkerer Glättung.

Zusammenhang zum Kalman-Filter

Das Alpha-Beta-Filter kann als stationärer Kalman-Filter für ein System mit

• konstantem Geschwindigkeitsmodell
• weißem Prozessrauschen
• weißem Messrauschen

interpretiert werden. Unter diesen Annahmen entsprechen $\alpha$ und $\beta$ den konstanten Einträgen der Kalman-Verstärkung.

Algorithmus (Zusammenfassung)

1. Prädiktion von Position und Geschwindigkeit
2. Berechnung der Innovation
3. Korrektur von Position mit $\alpha$
4. Korrektur von Geschwindigkeit mit $\beta$

Optimale Wahl der Filterparameter α und β

Die optimalen Parameter α und β des Alpha-Beta-Filters ergeben sich aus der Interpretation des Filters als stationärer Kalman-Filter für ein lineares Bewegungsmodell mit konstanter Geschwindigkeit. Ziel ist die Minimierung des mittleren quadratischen Schätzfehlers (MMSE).

System- und Rauschmodell

Prozessrauschen

Unbekannte Beschleunigungen werden als weißes Rauschen modelliert. Die Prozessrauschkovarianz lautet: $\mathbf{Q}=\left[\begin{array}{cc}\frac{T^3}{3}& \frac{T^2}{2}\\ \frac{T^2}{2}& T\end{array}\right]{\sigma }_w^2$

Messrauschen

Es wird angenommen, dass nur die Position gemessen wird: $z(k)=x(k)+w(k)$
mit
$w(k)\sim {𝒩}(0,R)$ mit R = \sigma_v^2

Dimensionslose Kenngröße λ

Die optimale Parameterwahl hängt ausschließlich vom Verhältnis zwischen Prozess- und Messrauschen ab:
$\lambda =\frac{{\sigma }_w\mathrm{\Delta }{t}^2}{{\sigma }_v}$
mit:

${\sigma }_w$ – Standardabweichung der Beschleunigung (Prozessrauschen)

${\sigma }_v$ – Standardabweichung der Positionsmessung

$\mathrm{\Delta }t$ – Abtastzeit

• kleines $\lambda$: geringe Dynamik, stark verrauschte Messung
• großes $\lambda$: hohe Dynamik, präzise Messung

Stationäre Kalman-Verstärkung

Für das oben beschriebene System konvergiert die Kalman-Verstärkung gegen einen konstanten Wert:

$\mathbf{K}=\left[\begin{array}{c}{K}_x\\ K_v\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta /T\end{array}\right]$

Daraus folgt:

$\alpha =K_x$ $\beta =T{K}_v$

Geschlossene Lösung für α und β

${\alpha }_{opt}=\frac{1}{8}(-{\lambda }^2-8\lambda +(\lambda +4)\sqrt{{\lambda }^2+8\lambda })$

${\beta }_{opt}=\frac{1}{4}({\lambda }^2+4\lambda -\lambda \sqrt{{\lambda }^2+8\lambda })$

Diese Parameter sind:

• stationär
• MMSE-optimal
• unabhängig von den Anfangsbedingungen

Näherungsformel für praktische Anwendungen

In vielen Anwendungen wird folgende Näherung verwendet:

$\beta \approx \frac{{\alpha }^2}{2-\alpha }$

Diese Beziehung ist nicht exakt optimal, liefert jedoch stabile Ergebnisse bei geringem Abstimmungsaufwand.

Stabilität und Grenzfälle

Die Stabilitätsbedingungen lauten:

$0<\alpha <1$ und $0<\beta <2$

Grenzfälle:

$\lambda \to 0$ ⇒ $\alpha ,\beta \to 0$ (starke Glättung)

$\lambda \to \mathrm{\infty }$ ⇒ $\alpha \to 1$, $\beta \to 2$ (folgt Messung)

Einordnung

Das Alpha-Beta-Filter kann als reduzierter Kalman-Filter mit impliziter Kovarianzrechnung aufgefasst werden. Die gesamte Filterdynamik wird durch die einzige dimensionslose Kenngröße $\lambda$ bestimmt.

Erweiterungen

• Alpha-Beta-Gamma-Filter (zusätzliche Beschleunigung)
• Mehrdimensionale Zustände (z. B. 2D-Tracking)
• Adaptive Parameterwahl

MATLAB-Beispiel Alpha-Beta-Filter

---

→ Erweiterung: Alpha-Beta-Gamma-Filter
→ zurück zum Hauptartikel: MTR Multisensorsysteme WS 25/26