MTR Multisensorsysteme: Alpha-Beta-Gamma-Filter

Dozent:	Prof. Dr.-Ing. Schneider
Modul	Multisensorsysteme (Wahlpflichtprofil „Systems Design Engineering“), Wintersemester
Modulbezeichnung:	MTR-B-2-7.10
Modulverantwortung:	Ulrich Schneider
Lehrveranstaltung:	Praktikum Multisensorsysteme
Lektionen:	6 - Alpha-Beta-Gamma-Filter

Einleitung

Das Alpha-Beta-Gamma-Filter (α-β-γ-Filter) ist ein rekursives Verfahren zur Zustands­schätzung dynamischer Systeme und stellt eine Erweiterung des Alpha-Beta-Filters dar. Es dient der gleichzeitigen Schätzung von Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Objekts auf Basis verrauschter Messungen, typischerweise bei bekannten zeitdiskreten Abtastintervallen. Das Filter basiert auf einem kinematischen Bewegungsmodell mit konstanter Beschleunigung und kombiniert dieses mit einer gewichteten Korrektur durch aktuelle Messwerte.

Im Gegensatz zu statistisch optimalen Verfahren wie dem Kalman-Filter verzichtet das Alpha-Beta-Gamma-Filter auf eine explizite Modellierung der Mess- und Prozessrauschen. Stattdessen erfolgt die Gewichtung der Messkorrektur über die drei Parameter α, β und γ, welche den Einfluss der Messinnovation auf die geschätzte Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung bestimmen. Diese Parameter werden in der Praxis heuristisch oder aus vereinfachten Annahmen über die Systemdynamik abgeleitet und ermöglichen eine intuitive Einstellung des Filterverhaltens hinsichtlich Reaktionsgeschwindigkeit und Glättung.

Aufgrund seiner geringen rechnerischen Komplexität, einfachen Implementierung und robusten Eigenschaften findet das Alpha-Beta-Gamma-Filter insbesondere in Echtzeitanwendungen mit begrenzten Ressourcen Anwendung, beispielsweise in der Radar- und Zielverfolgung, der Fahrzeug- und Robotiknavigation sowie in eingebetteten Sensorsystemen. Gleichzeitig kann das Filter als deterministische Näherung eines Kalman-Filters mit konstantem Beschleunigungsmodell interpretiert werden und stellt damit einen wichtigen didaktischen Übergang zwischen einfachen Glättungsverfahren und probabilistischen Zustandsfiltern dar.

Alpha-Beta-Gamma-Filter

Das α-β-γ-Filter ist ein rekursives lineares Schätzverfahren zur Bestimmung von Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines bewegten Objekts aus verrauschten Positionsmessungen. Es stellt eine vereinfachte, stationäre Form des Kalman-Filters für ein lineares Bewegungsmodell mit konstanter Beschleunigung dar.

Systemmodell

Es wird ein diskretes Zeitmodell mit konstanter Abtastzeit $\mathrm{\Delta }t$ angenommen.

Zustandsvektor

Der Systemzustand besteht aus Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung: $\mathbf{𝐱}=\left[\begin{array}{c}x\\ v\\ a\end{array}\right]$

Prädiktion

Das Systemmodell für die Prädiktion lautet: ${\mathbf{𝐱}}^{*}(k+1|k)=\left[\begin{array}{ccc}1& \mathrm{\Delta }t& \frac{\mathrm{\Delta }{t}^2}{2}\\ 0& 1& \mathrm{\Delta }t\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \widehat{\mathbf{𝐱}}(k)$

Explizit:
$x^{*}(k+1|k)=\hat{x}(k)+\mathrm{\Delta }t\cdot \hat{v}(k)+\frac{\mathrm{\Delta }{t}^2}{2}\cdot \hat{a}(k)$
$v^{*}(k+1|k)=\hat{v}(k)+\mathrm{\Delta }t\cdot \hat{a}(k)$
$a^{*}(k+1|k)=\hat{a}(k)$

Messmodell

Es wird angenommen, dass nur die Position gemessen wird:

$z(k)=x(k)+w(k)$

mit dem Messrauschen $w(k)$.

Innovationsbildung

Die Innovation (Residuum) ergibt sich als Differenz zwischen Messung und Vorhersage:

$r(k+1)=z(k+1)-x^{*}(k+1|k)$

Korrekturgleichungen

Die Korrektur des Zustands erfolgt mithilfe der konstanten Verstärkungsparameter $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$.

Positionskorrektur

$\hat{x}(k+1)=x^{*}(k+1|k)+\alpha \cdot r(k+1)$

Geschwindigkeitskorrektur

$\hat{v}(k+1)=v^{*}(k+1|k)+\frac{\beta }{\mathrm{\Delta }t}\cdot r(k+1)$

Beschleunigungskorrektur

$\hat{a}(k+1)=a^{*}(k+1|k)+\frac{\gamma }{2\cdot \mathrm{\Delta }{t}^2}\cdot r(k+1)$

Bedeutung der Filterparameter

• $\alpha$ bestimmt den Einfluss der Messung auf die Positionsschätzung.
• $\beta$ bestimmt den Einfluss der Messung auf die Geschwindigkeits­schätzung.
• $\gamma$ bestimmt den Einfluss der Messung auf die Beschleunigungsschätzung.

Die Parameter werden abhängig von den Anforderungen an das Objekttracking gewählt. Die folgenden Kombinationen sind beispielhafte Startwerte für eine experimentelle Untersuchung und stellen keine allgemeingültigen Empfehlungen dar.

α	β	γ	Variante	Erwartete Tendenz
0,4	0,1	0,02	Starke Glättung	Ruhigere Schätzung, möglicherweise verzögerte Reaktion
0,7	0,2	0,05	Ausgewogen	Ausgangspunkt für den Vergleich
0,9	0,4	0,15	Schnelle Reaktion	Schnellere Anpassung, potenziell stärkere Reaktion auf Messrauschen

Große Werte führen zu schneller Reaktion, kleine Werte zu stärkerer Glättung.

Zusammenhang zum Kalman-Filter

• Der Alpha-Beta-Gamma-Filter kann unter geeigneten Modell- und Rauschannahmen als stationäre Variante des Kalman-Filters interpretiert werden.
• Seine Filterparameter \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) entsprechen dabei den konstanten Einträgen des Kalman-Verstärkungsvektors.
• $\mathbf{𝐊}=\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta /\mathrm{\Delta }t\\ \gamma /(2\mathrm{\Delta }{t}^2)\end{array}\right].$
• Im Gegensatz zum klassischen Kalman-Filter wird die Kovarianzmatrix nicht rekursiv berechnet. Die Parameter müssen daher passend zur Dynamik des Systems und zum Messrauschen gewählt werden.

Algorithmus (Zusammenfassung)

Das Alpha-Beta-Gamma-Filter schätzt die Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines bewegten Objekts aus verrauschten Positionsmessungen. Es verwendet ein Bewegungsmodell mit konstanter Beschleunigung innerhalb eines Abtastintervalls. Der Algorithmus besteht aus einer Prädiktion und einer anschließenden Korrektur anhand der neuen Messung [5].

Die Abtastzeit sei \(\Delta t\). Die geschätzten Zustandsgrößen nach der letzten Messkorrektur sind \(\hat{x}_s(k)\), \(\hat{v}_s(k)\) und \(\hat{a}_s(k)\).

1. Prädiktion von Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung
2. Berechnung der Innovation aus Messung und vorhergesagter Position
3. Korrektur der Position mit $\alpha$
4. Korrektur der Geschwindigkeit mit $\beta$
5. Korrektur der Beschleunigung mit $\gamma$

Optimale Wahl der Filterparameter α, β und γ

Die Parameter \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) bestimmen das Verhalten des Alpha-Beta-Gamma-Filters. Eine stärkere Korrektur kann die Reaktion auf Änderungen der Objektbewegung beschleunigen, lässt aber unter Umständen mehr Messrauschen in die Schätzung einfließen. Eine stärkere Glättung reduziert das Messrauschen, kann jedoch zu größeren oder länger anhaltenden Schätzfehlern führen.

Es gibt daher keine universell optimale Parameterkombination. Die geeignete Wahl hängt unter anderem vom Bewegungsprofil des Objekts, der Messrauschvarianz, der Abtastzeit und den Anforderungen an die Reaktionsgeschwindigkeit ab [5].

Kriterien für die Parameterwahl

[5] untersucht die Parameterwahl anhand verschiedener Gütekriterien:

• Rauschunterdrückung: Maß für die Übertragung des Messrauschens auf den Filterausgang.
• Stationärer Trackingfehler: Abweichung zwischen dem geschätzten und dem tatsächlichen Zustand nach dem Einschwingen bei einer vorgegebenen Bewegung.
• Transienter Trackingfehler: Verhalten des Schätzfehlers während des Einschwingvorgangs, beispielsweise nach einer Änderung der Bewegung.

Diese Kriterien stehen teilweise im Konflikt. Eine geeignete Parametrierung muss deshalb die Anforderungen an Rauschunterdrückung und dynamisches Verhalten gegeneinander abwägen.

Stabilitätsbedingungen

Für die in diesem Artikel verwendete Parametrierung geben Tenne und Singh folgende Bedingungen für den Stabilitätsbereich an [5]:

• $0<\alpha <2$
• $\beta >0$
• $\gamma >0$
• $\beta <4-2\alpha$
• $\gamma <\frac{4\alpha \beta }{2-\alpha }$

Die genannten Ungleichungen beschreiben gemeinsam den Stabilitätsbereich des zugrunde gelegten diskreten Filtermodells nach Tenne und Singh [5]. Eine Parametrierung innerhalb dieses Bereichs gewährleistet die Stabilität des betrachteten linearen Filters, bedeutet jedoch nicht, dass die Schätzung hinsichtlich Rauschunterdrückung oder Trackingfehler optimal ist.

Praktische Parametrierung

Für eine praktische Anwendung empfiehlt sich folgendes Vorgehen:

1. Wählen Sie zunächst eine plausible Parameterkombination innerhalb des Stabilitätsbereichs.
2. Simulieren Sie das Filter mit repräsentativen Messdaten und einem bekannten Bewegungsprofil.
3. Vergleichen Sie die geschätzte Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung mit den Referenzwerten.
4. Bewerten Sie sowohl die Glättung des Messrauschens als auch das Einschwingverhalten bei Änderungen der Bewegung.
5. Variieren Sie \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) systematisch und wählen Sie die Kombination, die die festgelegten Anforderungen am besten erfüllt.

Eine formale Optimierung kann diese Vorgehensweise ergänzen. Dazu wird eine Kostenfunktion definiert, welche die gewählten Fehler- und Rauschmaße mit geeigneten Gewichtungsfaktoren kombiniert. Die optimale Parameterkombination ergibt sich aus der Minimierung dieser Kostenfunktion unter Einhaltung der Stabilitätsbedingungen [5].

Einordnung

Das Alpha-Beta-Gamma-Filter ist ein rekursives Zustandsfilter zur Schätzung von Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung aus verrauschten Positionsmessungen. Es basiert auf einem Bewegungsmodell mit konstanter Beschleunigung und berücksichtigt Abweichungen zwischen der vorhergesagten und der tatsächlich gemessenen Position über die sogenannte Innovation.

Im Gegensatz zu einem Kalman-Filter werden die Filterparameter \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) beim Alpha-Beta-Gamma-Filter direkt vorgegeben. Eine explizite rekursive Berechnung der Fehlerkovarianz und eine darauf basierende Anpassung der Filterverstärkung erfolgen nicht. Dadurch ist das Verfahren vergleichsweise einfach zu implementieren und eignet sich insbesondere für Anwendungen, bei denen die Rechenressourcen begrenzt sind oder eine gezielte manuelle Parametrierung gewünscht ist.

Die drei Parameter beeinflussen die Schätzung unterschiedlich: \(\alpha\) bestimmt die Korrektur der Position, \(\beta\) die Korrektur der Geschwindigkeit und \(\gamma\) die Korrektur der Beschleunigung. Eine stärkere Korrektur ermöglicht eine schnellere Reaktion auf Änderungen der Bewegung, kann jedoch auch zu einer stärkeren Übernahme des Messrauschens führen. Die Wahl der Parameter stellt daher einen Kompromiss zwischen Rauschunterdrückung und dynamischer Nachführung dar.

Unter geeigneten Modell- und Rauschannahmen kann das Alpha-Beta-Gamma-Filter als stationäre Form eines Kalman-Filters für ein Bewegungsmodell mit konstanter Beschleunigung interpretiert werden. In diesem Fall entsprechen die konstanten Parameter einer fest eingestellten Kalman-Verstärkung. Diese Interpretation gilt jedoch nicht uneingeschränkt: Sie hängt unter anderem vom verwendeten Prozessrauschmodell, vom Messrauschen und von der Abtastzeit ab.

Das Alpha-Beta-Gamma-Filter eignet sich beispielsweise zur Verfolgung bewegter Objekte, zur Glättung von Positionsmessungen und zur Schätzung von Bewegungsgrößen in autonomen mobilen Robotern. Wenn sich die Bewegungsdynamik oder die Rauschbedingungen stark ändern, kann ein Kalman-Filter mit expliziter Kovarianzrechnung oder ein erweitertes Zustandsmodell vorteilhaft sein.

Erweiterungen

• Alpha-Beta-Gamma-Filter (zusätzliche Beschleunigung)
• Mehrdimensionale Zustände (z. B. 2D-Tracking)
• Adaptive Parameterwahl

Literatur

[1]	KALATA, Paul R.: The Tracking Index: A Generalized Parameter for α-β and α-β-γ Target Trackers. In: IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. 1984, Bd. AES-20, Nr. 2, S. 174–182. DOI: 10.1109/TAES.1984.310438
[2]	SAHO, Kenshi: Fundamental Properties and Optimal Gains of a Steady-State Velocity Measured α-β Tracking Filter. In: Advances in Remote Sensing. 2014, Bd. 3, Nr. 2, S. 61–76. DOI: 10.4236/ars.2014.32006
[3]	FRIEDLAND, Bernard: Optimum Steady-State Position and Velocity Estimation Using Noisy Sampled Position Data. In: IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. 1973, Bd. AES-9, Nr. 6, S. 906–911.
[4]	BENEDICT, T. R.; BORDNER, G. W.: Synthesis of an Optimal Set of Radar Track-While-Scan Smoothing Equations. In: IRE Transactions on Automatic Control. 1962, Bd. AC-7, Nr. 4, S. 27–32. DOI: 10.1109/TAC.1962.1105477
[5]	TENNE, Dirk; SINGH, Tarunraj: Optimal Design of α-β-(γ) Filters. In: Proceedings of the 2000 American Control Conference. Chicago, IL, USA, 28.–30. Juni 2000. Bd. 6, S. 4348–4352. DOI: 10.1109/ACC.2000.877043.

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