MTR Multisensorsysteme: Alpha-Beta-Gamma-Filter

Dozent:	Prof. Dr.-Ing. Schneider
Modul	Multisensorsysteme (Wahlpflichtprofil „Systems Design Engineering“), Wintersemester
Modulbezeichnung:	MTR-B-2-7.10
Modulverantwortung:	Ulrich Schneider
Lehrveranstaltung:	Praktikum Multisensorsysteme
Lektionen:	15 - Alpha-Beta-Gamma-Filter

Einleitung

Das Alpha-Beta-Gamma-Filter (α-β-γ-Filter) ist ein rekursives Verfahren zur Zustands­schätzung dynamischer Systeme und stellt eine Erweiterung des Alpha-Beta-Filters dar. Es dient der gleichzeitigen Schätzung von Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Objekts auf Basis verrauschter Messungen, typischerweise bei bekannten zeitdiskreten Abtastintervallen. Das Filter basiert auf einem kinematischen Bewegungsmodell mit konstanter Beschleunigung und kombiniert dieses mit einer gewichteten Korrektur durch aktuelle Messwerte.

Im Gegensatz zu statistisch optimalen Verfahren wie dem Kalman-Filter verzichtet das Alpha-Beta-Gamma-Filter auf eine explizite Modellierung der Mess- und Prozessrauschen. Stattdessen erfolgt die Gewichtung der Messkorrektur über die drei Parameter α, β und γ, welche den Einfluss der Messinnovation auf die geschätzte Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung bestimmen. Diese Parameter werden in der Praxis heuristisch oder aus vereinfachten Annahmen über die Systemdynamik abgeleitet und ermöglichen eine intuitive Einstellung des Filterverhaltens hinsichtlich Reaktionsgeschwindigkeit und Glättung.

Aufgrund seiner geringen rechnerischen Komplexität, einfachen Implementierung und robusten Eigenschaften findet das Alpha-Beta-Gamma-Filter insbesondere in Echtzeitanwendungen mit begrenzten Ressourcen Anwendung, beispielsweise in der Radar- und Zielverfolgung, der Fahrzeug- und Robotiknavigation sowie in eingebetteten Sensorsystemen. Gleichzeitig kann das Filter als deterministische Näherung eines Kalman-Filters mit konstantem Beschleunigungsmodell interpretiert werden und stellt damit einen wichtigen didaktischen Übergang zwischen einfachen Glättungsverfahren und probabilistischen Zustandsfiltern dar.

Alpha-Beta-Gamma-Filter

Das α-β-γ-Filter ist ein rekursives lineares Schätzverfahren zur Bestimmung von Position, Geschwindigkeit und Beschleinigung eines bewegten Objekts aus verrauschten Positionsmessungen. Es stellt eine vereinfachte, stationäre Form des Kalman-Filters für ein lineares Bewegungsmodell mit konstanter Beschleunigung dar.

Systemmodell

Es wird ein diskretes Zeitmodell mit konstanter Abtastzeit $\mathrm{\Delta }t$ angenommen.

Zustandsvektor

Der Systemzustand besteht aus Position und Geschwindigkeit: $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}x\\ v\\ a\end{array}\right]$

Prädiktion

Das Systemmodell für die Prädiktion lautet: ${\mathbf{x}}^{*}(k+1|k)=\left[\begin{array}{ccc}1& \mathrm{\Delta }t& \frac{\mathrm{\Delta }{t}^2}{2}\\ 0& 1& \mathrm{\Delta }t\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \hat{\mathbf{x}}(k)$

Explizit:
$x^{*}(k+1|k)=\hat{x}(k)+\mathrm{\Delta }t\cdot \hat{v}(k)+\frac{\mathrm{\Delta }{t}^2}{2}\cdot \hat{a}(k)$
$v^{*}(k+1|k)=\hat{v}(k)+\mathrm{\Delta }t\cdot \hat{v}(k)$
$a^{*}(k+1|k)=\hat{a}(k)$

Messmodell

Es wird angenommen, dass nur die Position gemessen wird:

$z(k)=x(k)+w(k)$

mit dem Messrauschen $w(k)$.

Innovationsbildung

Die Innovation (Residuum) ergibt sich als Differenz zwischen Messung und Vorhersage:

$r(k)=z(k)-x^{*}(k+1|k)$

Korrekturgleichungen

Die Korrektur des Zustands erfolgt mithilfe der konstanten Verstärkungsparameter $\alpha$ und $\beta$.

Positionskorrektur

$\hat{x}(k+1)=x^{*}(k+1|k)+\alpha \cdot r_k$

Geschwindigkeitskorrektur

$\hat{v}(k+1)=v^{*}(k+1|k)+\frac{\beta }{\mathrm{\Delta }t}\cdot r(k)$

Beschleunigungskorrektur

$\hat{a}(k+1)=a^{*}(k+1|k)+\frac{\gamma }{\frac{\mathrm{\Delta }{t}^2}{2}}\cdot r(k)$

Bedeutung der Filterparameter

• $\alpha$ bestimmt den Einfluss der Messung auf die Positionsschätzung.
• $\beta$ bestimmt den Einfluss der Messung auf die Geschwindigkeits­schätzung.
• $\gamma$ bestimmt den Einfluss der Messung auf die Beschleunigungsschätzung.

Typischerweise gilt:

• $$\begin{gathered} \alpha \in [0,6; \\ 0,95] \end{gathered}$$
  
• $$\begin{gathered} \beta \in [0,05; \\ 0,4] \end{gathered}$$
  
• $\gamma <<\beta$
  

Große Werte führen zu schneller Reaktion, kleine Werte zu stärkerer Glättung.

Zusammenhang zum Kalman-Filter

Das Alpha-Beta-Gamma-Filter kann als stationärer Kalman-Filter für ein System mit

• konstantem Beschleunigungsmodell
• weißem Prozessrauschen
• weißem Messrauschen

interpretiert werden. Unter diesen Annahmen entsprechen $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ den konstanten Einträgen der Kalman-Verstärkung.

Algorithmus (Zusammenfassung)

1. Prädiktion von Position und Geschwindigkeit
2. Berechnung der Innovation
3. Korrektur von Position mit $\alpha$
4. Korrektur von Geschwindigkeit mit $\beta$

Optimale Wahl der Filterparameter α und β

Die optimalen Parameter α und β des Alpha-Beta-Filters ergeben sich aus der Interpretation des Filters als stationärer Kalman-Filter für ein lineares Bewegungsmodell mit konstanter Geschwindigkeit. Ziel ist die Minimierung des mittleren quadratischen Schätzfehlers (MMSE).

System- und Rauschmodell

Prozessrauschen

Unbekannte Beschleunigungen werden als weißes Rauschen modelliert. Die Prozessrauschkovarianz lautet: $\mathbf{Q}=\left[\begin{array}{cc}\frac{T^3}{3}& \frac{T^2}{2}\\ \frac{T^2}{2}& T\end{array}\right]{\sigma }_w^2$

Messrauschen

Es wird angenommen, dass nur die Position gemessen wird: $z(k)=x(k)+w(k)$
mit
$w(k)\sim {𝒩}(0,R)$ mit R = \sigma_v^2

Dimensionslose Kenngröße λ

Die optimale Parameterwahl hängt ausschließlich vom Verhältnis zwischen Prozess- und Messrauschen ab:
$\lambda =\frac{{\sigma }_w\mathrm{\Delta }{t}^2}{{\sigma }_v}$
mit:

${\sigma }_w$ – Standardabweichung der Beschleunigung (Prozessrauschen)

${\sigma }_v$ – Standardabweichung der Positionsmessung

$\mathrm{\Delta }t$ – Abtastzeit

• kleines $\lambda$: geringe Dynamik, stark verrauschte Messung
• großes $\lambda$: hohe Dynamik, präzise Messung

Stationäre Kalman-Verstärkung

Für das oben beschriebene System konvergiert die Kalman-Verstärkung gegen einen konstanten Wert:

$\mathbf{K}=\left[\begin{array}{c}{K}_x\\ K_v\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta /T\end{array}\right]$

Daraus folgt:

$\alpha =K_x$ $\beta =T{K}_v$

Geschlossene Lösung für α und β

${\alpha }_{opt}=\frac{1}{8}(-{\lambda }^2-8\lambda +(\lambda +4)\sqrt{{\lambda }^2+8\lambda })$

${\beta }_{opt}=\frac{1}{4}({\lambda }^2+4\lambda -\lambda \sqrt{{\lambda }^2+8\lambda })$

Diese Parameter sind:

• stationär
• MMSE-optimal
• unabhängig von den Anfangsbedingungen

Näherungsformel für praktische Anwendungen

In vielen Anwendungen wird folgende Näherung verwendet:

$\beta \approx \frac{{\alpha }^2}{2-\alpha }$

Diese Beziehung ist nicht exakt optimal, liefert jedoch stabile Ergebnisse bei geringem Abstimmungsaufwand.

Stabilität und Grenzfälle

Die Stabilitätsbedingungen lauten:

$0<\alpha <1$ und $0<\beta <2$

Grenzfälle:

$\lambda \to 0$ ⇒ $\alpha ,\beta \to 0$ (starke Glättung)

$\lambda \to \mathrm{\infty }$ ⇒ $\alpha \to 1$, $\beta \to 2$ (folgt Messung)

Einordnung

Das Alpha-Beta-Filter kann als reduzierter Kalman-Filter mit impliziter Kovarianzrechnung aufgefasst werden. Die gesamte Filterdynamik wird durch die einzige dimensionslose Kenngröße $\lambda$ bestimmt.

Erweiterungen

• Alpha-Beta-Gamma-Filter (zusätzliche Beschleunigung)
• Mehrdimensionale Zustände (z. B. 2D-Tracking)
• Adaptive Parameterwahl

MATLAB-Beispiel Alpha-Beta-Filter

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