Spurpolynom

Autor: Junjie Lyu
Betreuer: Prof. Schneider

Einleitung

In diesem Artikel wird ein Spurpolynom des Carolo Cup Fahrzeugs beschrieben. Daher befasst sich dieser Artikel mit der Berechnung des Spurpolynoms.

Regressionsanalyse[1]

Anleitung

Ziel der Regressionsanalyse am häugigsten ist es, Beziehung zwischen einer abhängigen und einer oder mehreren unabhängigen Variable festzustellen, um ein Vorhersagemodell zu erstellen. Wenn nun zusätzliche Werte x ohne zugehörigen Wert y vorliegen, dann kann das angepasste Modell zur Vorhersage des Wertes von y verwendet werden.

Polynomische Regression

Im Falle der polynomischen Regression vom Grad 2 wird die Funktion $\hat{y} = a \cdot \hat{x^{2}} + b \cdot \hat{x}+ c$ unter der Bedingung gesucht, dass die Funktion

$V(a,b,c) = \sum_{i=1}^k (y_i-\hat{y_i})^2 = \sum_{i=1}^k(y_i-a \cdot x_i^2-b \cdot x_i - c)^2\qquad(1)$  
  

der Summe der Quadrate der Abstände der tatsächlichen y-Werte von berechneten $\hat{y}$ -Werten ein Minimum hat. Zur Bestimmung der Konstanten $a,b,c$ in Gleichung (1) werden die partiellen Ableitungen $\frac{\partial V}{\partial a}$, $\frac{\partial V}{\partial b}$ und $\frac{\partial V}{\partial c}$ gleich null gesetzt, um jeweils das minimum zu erhalten:

Partielle Ableitung nach $a$:
$\longrightarrow \frac{\partial V(a,b,c)}{\partial a}=2 \cdot \sum_{i=1}^k(y_i-a \cdot x_i^2-b \cdot x_i - c) \cdot (-x_i^2)$
dividiert durch $k$ ergibt: $\quad \overline{y_i  x_i^2 } = a \cdot \overline{x_i^4 } + b \cdot \overline{x_i^3 } + c \cdot \overline{x_i^2 } \qquad (2)$

Partielle Ableitung nach $b$:

$\longrightarrow \frac{\partial V(a,b,c)}{\partial b}=2 \cdot \sum_{i=1}^k(y_i-a \cdot x_i^2-b \cdot x_i - c) \cdot (-x_i)$
dividiert durch $k$ ergibt: $\quad \overline{y_i  x_i} = a \cdot \overline{x_i^3 } + b \cdot \overline{x_i^2 } + c \cdot \overline{x_i } \qquad (3)$

Partielle Ableitung nach $c$:

$\longrightarrow \frac{\partial V(a,b,c)}{\partial c}=2 \cdot \sum_{i=1}^k(y_i-a \cdot x_i^2-b \cdot x_i - c) \cdot (-1)$
dividiert durch $k$ ergibt: $\quad \overline{y_i} = a \cdot \overline{x_i^2} + b \cdot \overline{x_i} + c \qquad (4)$

Es entsteht wieder ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen $a,b,c$,dessen Lösung die optimalen Konstanten liefert:

$a =  {{(\overline{y_i x_i^2} - \overline{y_i} \cdot \overline{x_i^2}) \cdot (\overline{x_i^2} -(\overline{x_i})^2)-(\overline{y_i x_i}- \overline{y_i} \cdot \overline{x_i}) \cdot (\overline{x_i^3}-\overline{x_i} \cdot \overline{x_i^2})} \over {(\overline{x_i^4}-(\overline{x_i^2})^2) \cdot (\overline{x_i^2}-(\overline{x_i})^2)-(\overline{x_i^3}-\overline{x_i} \cdot \overline{x_i^2})^2}}$
$b =  {{\overline{y_i x_i}-\overline{y_i} \cdot \overline{x_i} - a \cdot (\overline{x_i^3} - \overline{x_i} \cdot \overline{x_i^2}) } \over {\overline{x_i^2}-(\overline{x_i})^2}}$
$c = \overline{y_i} - a \cdot \overline{x_i^2} - b \cdot \overline{x_i}$

Offline Modell

Eingabe-Variablen:

x und y: Koordinaten des Fahrzeugschwerpunktes in Weltkoordinaten
phi: Fahrzeugrichtung in Weltkoordinaten.
Z: die Bahnpunkte

Ausgabe-Variablen:

a,b,c: Koeffizienten einer Parabel, welche die Fahrbahn im Fahrzeug-Koordinatensystem bestmöglich nähert

Die Punkte werden bestimmt, die von (x,y) einen Abstand kleiner d haben. Die Punkte werden angenommen, die (x,y) immer maximal d/2 von der Laborbahn entfernt ist. Durch die angenommenen Punkte mit polynomischen Regression werden a,b,c beschrieben. Dann könte man ein Vorhersagemodell für Fahrzeug erhalten.

Abb. 1 Offline Kamera modell

Online Modell

Eingabe Variablen werden durch Kamera erhilten

Ausgabe-Variablen:

a,b,c: Koeffizienten einer Parabel, welche die Fahrbahn im Fahrzeug-Koordinatensystem bestmöglich nähert

Abb. 2 Online Kamera modell

Literatur

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