Kamera

Autor: Junjie Lyu Changlai Bao
Betreuer: Prof. Schneider

Einleitung

In diesem Artikel wird ein Spurpolynom des Carolo Cup Fahrzeugs beschrieben. Daher befasst sich dieser Artikel mit der Berechnung des Spurpolynoms.

Regressionsanalyse[1]

Anleitung

Ziel der Regressionsanalyse am häugigsten ist es, Beziehung zwischen einer abhängigen und einer oder mehreren unabhängigen Variable festzustellen, um ein Vorhersagemodell zu erstellen. Wenn nun zusätzliche Werte x ohne zugehörigen Wert y vorliegen, dann kann das angepasste Modell zur Vorhersage des Wertes von y verwendet werden.

Polynomische Regression

Im Falle der polynomischen Regression vom Grad 2 wird die Funktion $ {\hat {y}}=a\cdot {\hat {x^{2}}}+b\cdot {\hat {x}}+c $ unter der Bedingung gesucht, dass die Funktion

$ V(a,b,c)=\sum _{i=1}^{k}(y_{i}-{\hat {y_{i}}})^{2}=\sum _{i=1}^{k}(y_{i}-a\cdot x_{i}^{2}-b\cdot x_{i}-c)^{2}\qquad (1) $  
  

der Summe der Quadrate der Abstände der tatsächlichen y-Werte von berechneten $ {\hat {y}} $ -Werten ein Minimum hat. Zur Bestimmung der Konstanten $ a,b,c $ in Gleichung (1) werden die partiellen Ableitungen $ {\frac {\partial V}{\partial a}} $, $ {\frac {\partial V}{\partial b}} $ und $ {\frac {\partial V}{\partial c}} $ gleich null gesetzt, um jeweils das minimum zu erhalten:

Partielle Ableitung nach $ a $:
$ \longrightarrow {\frac {\partial V(a,b,c)}{\partial a}}=2\cdot \sum _{i=1}^{k}(y_{i}-a\cdot x_{i}^{2}-b\cdot x_{i}-c)\cdot (-x_{i}^{2}) $
dividiert durch $ k $ ergibt: $ \quad {\overline {y_{i}x_{i}^{2}}}=a\cdot {\overline {x_{i}^{4}}}+b\cdot {\overline {x_{i}^{3}}}+c\cdot {\overline {x_{i}^{2}}}\qquad (2) $

Partielle Ableitung nach $ b $:

$ \longrightarrow {\frac {\partial V(a,b,c)}{\partial b}}=2\cdot \sum _{i=1}^{k}(y_{i}-a\cdot x_{i}^{2}-b\cdot x_{i}-c)\cdot (-x_{i}) $
dividiert durch $ k $ ergibt: $ \quad {\overline {y_{i}x_{i}}}=a\cdot {\overline {x_{i}^{3}}}+b\cdot {\overline {x_{i}^{2}}}+c\cdot {\overline {x_{i}}}\qquad (3) $

Partielle Ableitung nach $ c $:

$ \longrightarrow {\frac {\partial V(a,b,c)}{\partial c}}=2\cdot \sum _{i=1}^{k}(y_{i}-a\cdot x_{i}^{2}-b\cdot x_{i}-c)\cdot (-1) $
dividiert durch $ k $ ergibt: $ \quad {\overline {y_{i}}}=a\cdot {\overline {x_{i}^{2}}}+b\cdot {\overline {x_{i}}}+c\qquad (4) $

Es entsteht wieder ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen $ a,b,c $,dessen Lösung die optimalen Konstanten liefert:

$ a={{({\overline {y_{i}x_{i}^{2}}}-{\overline {y_{i}}}\cdot {\overline {x_{i}^{2}}})\cdot ({\overline {x_{i}^{2}}}-({\overline {x_{i}}})^{2})-({\overline {y_{i}x_{i}}}-{\overline {y_{i}}}\cdot {\overline {x_{i}}})\cdot ({\overline {x_{i}^{3}}}-{\overline {x_{i}}}\cdot {\overline {x_{i}^{2}}})} \over {({\overline {x_{i}^{4}}}-({\overline {x_{i}^{2}}})^{2})\cdot ({\overline {x_{i}^{2}}}-({\overline {x_{i}}})^{2})-({\overline {x_{i}^{3}}}-{\overline {x_{i}}}\cdot {\overline {x_{i}^{2}}})^{2}}} $
$ b={{{\overline {y_{i}x_{i}}}-{\overline {y_{i}}}\cdot {\overline {x_{i}}}-a\cdot ({\overline {x_{i}^{3}}}-{\overline {x_{i}}}\cdot {\overline {x_{i}^{2}}})} \over {{\overline {x_{i}^{2}}}-({\overline {x_{i}}})^{2}}} $
$ c={\overline {y_{i}}}-a\cdot {\overline {x_{i}^{2}}}-b\cdot {\overline {x_{i}}} $

Offline Modell

In der Abbildung 1 wird die Offline Modell der Kamera beschrieben.

Abbildung 1: Offline Modell Kamera

Literatur

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