Autor: Junjie Lyu Changlai Bao Betreuer: Prof. Schneider
Einleitung In diesem Artikel wird ein Spurpolynom des Carolo Cup Fahrzeugs beschrieben. Daher befasst sich dieser Artikel mit der Berechnung des Spurpolynoms.
Regressionsanalyse[1] Anleitung Ziel der Regressionsanalyse am häugigsten ist es, Beziehung zwischen einer abhängigen und einer oder mehreren unabhängigen Variable festzustellen, um ein Vorhersagemodell zu erstellen. Wenn nun zusätzliche Werte x ohne zugehörigen Wert y vorliegen, dann kann das angepasste Modell zur Vorhersage des Wertes von y verwendet werden.
Polynomische Regression Im Falle der polynomischen Regression vom Grad 2 wird die Funktion
y
^
=
a
⋅
x
2
^
+
b
⋅
x
^
+
c
{\displaystyle \hat{y} = a \cdot \hat{x^{2}} + b \cdot \hat{x}+ c}
V
(
a
,
b
,
c
)
=
∑
i
=
1
k
(
y
i
−
y
i
^
)
2
=
∑
i
=
1
k
(
y
i
−
a
⋅
x
i
2
−
b
⋅
x
i
−
c
)
2
(
1
)
{\displaystyle V(a,b,c) = \sum_{i=1}^k (y_i-\hat{y_i})^2 = \sum_{i=1}^k(y_i-a \cdot x_i^2-b \cdot x_i - c)^2\qquad(1)}
der Summe der Quadrate der Abstände der tatsächlichen y-Werte von berechneten
y
^
{\displaystyle \hat{y}}
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c }
∂
V
∂
a
{\displaystyle \frac{\partial V}{\partial a} }
∂
V
∂
b
{\displaystyle \frac{\partial V}{\partial b} }
∂
V
∂
c
{\displaystyle \frac{\partial V}{\partial c} }
Partielle Ableitung nach
a
{\displaystyle a}
⟶
∂
V
(
a
,
b
,
c
)
∂
a
=
2
⋅
∑
i
=
1
k
(
y
i
−
a
⋅
x
i
2
−
b
⋅
x
i
−
c
)
⋅
(
−
x
i
2
)
{\displaystyle \longrightarrow \frac{\partial V(a,b,c)}{\partial a}=2 \cdot \sum_{i=1}^k(y_i-a \cdot x_i^2-b \cdot x_i - c) \cdot (-x_i^2) }
k
{\displaystyle k }
y
i
x
i
2
¯
=
a
⋅
x
i
4
¯
+
b
⋅
x
i
3
¯
+
c
⋅
x
i
2
¯
(
2
)
{\displaystyle \quad \overline{y_i x_i^2 } = a \cdot \overline{x_i^4 } + b \cdot \overline{x_i^3 } + c \cdot \overline{x_i^2 } \qquad (2) }
Partielle Ableitung nach
b
{\displaystyle b}
⟶
∂
V
(
a
,
b
,
c
)
∂
b
=
2
⋅
∑
i
=
1
k
(
y
i
−
a
⋅
x
i
2
−
b
⋅
x
i
−
c
)
⋅
(
−
x
i
)
{\displaystyle \longrightarrow \frac{\partial V(a,b,c)}{\partial b}=2 \cdot \sum_{i=1}^k(y_i-a \cdot x_i^2-b \cdot x_i - c) \cdot (-x_i) }
k
{\displaystyle k }
y
i
x
i
¯
=
a
⋅
x
i
3
¯
+
b
⋅
x
i
2
¯
+
c
⋅
x
i
¯
(
3
)
{\displaystyle \quad \overline{y_i x_i} = a \cdot \overline{x_i^3 } + b \cdot \overline{x_i^2 } + c \cdot \overline{x_i } \qquad (3) }
Partielle Ableitung nach
c
{\displaystyle c}
⟶
∂
V
(
a
,
b
,
c
)
∂
c
=
2
⋅
∑
i
=
1
k
(
y
i
−
a
⋅
x
i
2
−
b
⋅
x
i
−
c
)
⋅
(
−
1
)
{\displaystyle \longrightarrow \frac{\partial V(a,b,c)}{\partial c}=2 \cdot \sum_{i=1}^k(y_i-a \cdot x_i^2-b \cdot x_i - c) \cdot (-1) }
k
{\displaystyle k }
y
i
¯
=
a
⋅
x
i
2
¯
+
b
⋅
x
i
¯
+
c
(
4
)
{\displaystyle \quad \overline{y_i} = a \cdot \overline{x_i^2} + b \cdot \overline{x_i} + c \qquad (4) }
Es entsteht wieder ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
a
=
(
y
i
x
i
2
¯
−
y
i
¯
⋅
x
i
2
¯
)
⋅
(
x
i
2
¯
−
(
x
i
¯
)
2
)
−
(
y
i
x
i
¯
−
y
i
¯
⋅
x
i
¯
)
⋅
(
x
i
3
¯
−
x
i
¯
⋅
x
i
2
¯
)
(
x
i
4
¯
−
(
x
i
2
¯
)
2
)
⋅
(
x
i
2
¯
−
(
x
i
¯
)
2
)
−
(
x
i
3
¯
−
x
i
¯
⋅
x
i
2
¯
)
2
{\displaystyle a = {{(\overline{y_i x_i^2} - \overline{y_i} \cdot \overline{x_i^2}) \cdot (\overline{x_i^2} -(\overline{x_i})^2)-(\overline{y_i x_i}- \overline{y_i} \cdot \overline{x_i}) \cdot (\overline{x_i^3}-\overline{x_i} \cdot \overline{x_i^2})} \over {(\overline{x_i^4}-(\overline{x_i^2})^2) \cdot (\overline{x_i^2}-(\overline{x_i})^2)-(\overline{x_i^3}-\overline{x_i} \cdot \overline{x_i^2})^2}}}
b
=
y
i
x
i
¯
−
y
i
¯
⋅
x
i
¯
−
a
⋅
(
x
i
3
¯
−
x
i
¯
⋅
x
i
2
¯
)
x
i
2
¯
−
(
x
i
¯
)
2
{\displaystyle b = {{\overline{y_i x_i}-\overline{y_i} \cdot \overline{x_i} - a \cdot (\overline{x_i^3} - \overline{x_i} \cdot \overline{x_i^2}) } \over {\overline{x_i^2}-(\overline{x_i})^2}}}
c
=
y
i
¯
−
a
⋅
x
i
2
¯
−
b
⋅
x
i
¯
{\displaystyle c = \overline{y_i} - a \cdot \overline{x_i^2} - b \cdot \overline{x_i} }
Offline Modell In der Abbildung 1 wird die Offline Modell der Kamera beschrieben.
Abbildung 1: Offline Modell Kamera Online Modell Literatur → zurück zum übergeordneten Artikel: Systemarchitektur des Fahrzeugs Praktikum SDE
