MATLAB Repetitorium - Symbolische Mathematik

Symbolisches Rechnen

Hinweis: Statt * / ^ verwenden Sie .* ./ .^ (Punktoperator vor Operation anwenden):

Aufgabe 2.1

Definieren Sie folgende Funktionen mit Matlab (Befehle: syms)

$y=2x^2+12x^2+19x+9$
$y=-\frac{1}{58}(x^2-100x-416)$
$y=-\frac{(x-1)(x+5)}{(x+1{)}^2(x-3)}$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.1:
syms x y 
y = 2.*x.^3 + 12.*x.^2 + 19.*x + 9;
y = (-1./58)*(x.^2 - 100.*x -416);
y = ((x-1).*(x+5))./((x+1).^2 .* (x-3));
clear x y

Aufgabe 2.2

Multiplizieren Sie folgende Ausdrücke aus (Befehle: expand())

$(3x-2y{)}^3$
$(4x-y{)}^4$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.2:
syms x y 
expand((3.*x - 2.*y)^3);
expand((4.*x - y)^4);
clear x y

Aufgabe 2.3

Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke (Befehle: exp(), log(), simplify())

$sin(x{)}^2+cos(x{)}^2$
$e^{ln(x)}$
$\frac{a^2-b^2}{a-b}$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.3:
syms x y 
simplify(sin(x).^2 + cos(x).^2);
simplify(exp(log(x)));
simplify((x.^2 - y.^2)./(x-y));
clear x y

Aufgabe 2.4

Verwenden Sie simplify zur Ausführung der Polynomdivision P3/P1.

$P_3(x)=x^3-6x^2-x+6=0,P_1(x)=x-1$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.4:
syms x P1 P3
P1 = x - 1;
P3 = x.^3 - 6.*x.^2 - x + 6;
simplify(P3/P1);
clear x P1 P3

Aufgabe 2.5

Lösen Sie folgende Gleichungen (Befehl: sqrt(), log10(), solve()).

Hinweis: Benutzen Sie „==“ statt „=“

$11-\sqrt{x+3}=6$
$3^x=4^{x-2}\cdot 2^x$
$lg(6x+10)-lg(x-3)=1$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.5:
syms x
solve(11-sqrt(x+3) == 6, x);
solve(3.^x == 4.^(x-2) .* 2.^x, x);
solve(log10(6.*x + 10) - log10(x - 3) == 1, x);
clear x

Aufgabe 2.6

Berechnen Sie folgende Grenzwerte (Befehle: limit(), inf).

$\underset{lim}{\overset{}{x\to 0}}\frac{2x^2+5x}{3x}$
$\underset{lim}{\overset{}{x\to \mathrm{\infty }}}\frac{1}{x}$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.6:
syms x
limit((2.*x^2 + 5.*x)./(3.*x),x,1);
limit(1./x,x,inf);
clear x

Aufgabe 2.7

Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung folgender Funktionen (Befehle: diff()).

$x^5\cdot \ln (x)$
$4\cdot \sin (x)\cdot \tan (x)$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.7:
syms y x
y = x.^5 + log(x);
ydiff = diff(y);
ydiffdiff = diff(ydiff);
subplot(121)
fplot(y);
subplot(122);
fplot(ydiff);

y = 4.*sin(x).*tan(x);
ydiff = diff(y);
ydiffdiff = diff(ydiff);
clear x y

Aufgabe 2.8

Berechnen Sie das unbestimmte Integral folgender Funktionen (Befehle: int()).

$\int \frac{3x^8}{x^3+1}dx$
$\int \frac{e^{2x}}{1+e^x}dx$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.8:
syms x
int((3.*x.^8)./(x.^3 +1),x);
int(exp(2.*x)./(1+exp(x)),x);
clear x

Aufgabe 2.9

Berechnen Sie das bestimmte Integral folgender Funktion (Befehle: int()).

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x}{(1+x^2{)}^2}dx$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.9:
syms x y
int(x./((1 + x.^2).^2),x,0,1)
clear x y

Aufgabe 2.10

Für die Schnellen: Erkundigen Sie sich über folgende Berechnungen zur Funktionsanalyse bzw. Kurvendiskussion in Matlab (Befehle: diff(), subs(), solve(), vpa()):

1. Berechnen von lokalen Extremstellen
2. Berechnen von Wendestellen
3. Berechnen des y-Achsenabschnittes

Wenden Sie die Berechnungen auf die Aufgaben aus Teil 2.1 an.

Musterlösung 

% Aufgabe 2.10:
syms x y1 y2 y3 
y1 = 2.*x.^3 + 12.*x.^2 + 19.*x + 9;
y2 = (-1./58)*(x.^2 - 100.*x -416);
y3 = ((x-1).*(x+5))./((x+1).^2 .* (x-3));

%% y1
y1diff1 = diff(y1);
y1diff2 = diff(y1diff1);

ycrossY1 = subs(y1,0);
ycrossX1 = 0;

max = solve(y1diff1 == 0,x);
extremaX1 = vpa(max);
extremaY1 = subs(y1,extremaX1);

inflection = solve(y1diff2 == 0,x);
inflectionX1 = vpa(inflection);
inflectionY1 = subs(y1,inflectionX1);

subplot(131);
fplot(y1);
hold on;
plot(ycrossX1,ycrossY1,'b*');
hold on;
plot(extremaX1,extremaY1,'r*');
hold on;
plot(inflectionX1,inflectionY1,'g*');


%% y2
y2diff1 = diff(y2);
y2diff2 = diff(y2diff1);

ycrossY2 = subs(y2,0);
ycrossX2 = 0;

max = solve(y2diff1 == 0,x);
extremaX2 = vpa(max);
extremaY2 = subs(y2,extremaX2);

inflection = solve(y2diff2 == 0,x);
inflectionX2 = vpa(inflection);
inflectionY2 = subs(y2,inflectionX2);

subplot(132);
fplot(y2);
hold on;
plot(ycrossX2,ycrossY2,'b*');
hold on;
plot(extremaX2,extremaY2,'r*');
hold on;
plot(inflectionX2,inflectionY2,'g*');

%% y3
y3diff1 = diff(y3);
y3diff2 = diff(y3diff1);

ycrossY3 = subs(y1,0);
ycrossX3 = 0;

max = solve(y3diff1 == 0,x);
extremaX3 = vpa(max);
extremaY3 = subs(y3,extremaX3);

inflection = solve(y3diff2 == 0,x);
inflectionX3 = vpa(inflection);
inflectionY3 = subs(y3,inflectionX3);

subplot(133);
fplot(y3);
hold on;
plot(ycrossX3,ycrossY3,'b*');
hold on;
plot(extremaX3,extremaY3,'r*');
hold on;
plot(inflectionX3,inflectionY3,'g*');