ArduMower: Kartierung in Matlab/Simulink

Matrix-basierte Karte der zu mähenden Fläche in Matlab/Simulink

Autor: Prof. Dr.-Ing. Schneider

Einleitung

Dieser Artikel beschreibt den Aufbau einer Matrix-basierten Karte zur Darstellung des aktuellen Mähstandes eines Rasenmähroboters. Der Anstoß zur Entwicklung dieser Karte lieferte das Projekt "ArduMower", in dem der Kollege Prof. Göbel und der Autor dieses Artikels mit Studierenden gemeinsam einen autonomen Rasenmäher entwickeln, siehe Projekt_ArduMower.

Das systematische Vorgehen bei der Entwicklung des Modells orientiert sich am V-Prozessmodell.

Anforderungen

Im Lastenheft des Projektes ArduMower wird die Erstellung einer selbstlernenden Karte gefordert:

Im Pflichtenheft taucht daraufhin der Punkt Selbstlernende Karte auf, konkrete Anforderungen an werden jedoch nicht näher spezifiziert:

Folgende Anforderungen wurden an die Karte gestellt:

ID	Inhalt	Ersteller	Datum	Geprüft von	Datum
1	Die Karte muss als Matrix mit der Rastergröße 30cm umgesetzt werden (Grid-Map).	Prof. Schneider	18.01.2018	Hr. Kreuer	18.01.2018
2	Die Perimeterschleife muss rot markiert werden.	Prof. Schneider	18.01.2018	Hr. Kreuer	18.01.2018
3	Die aktuelle Position des Mähers muss Blau markiert werden.	Prof. Schneider	18.01.2018	Hr. Kreuer	18.01.2018
4	Hindernisse müssen magenta markiert werden.	Prof. Schneider	18.01.2018	Hr. Kreuer	18.01.2018
5	Unbekannte Bereiche müssen weiß bleiben.	Prof. Schneider	18.01.2018	Hr. Kreuer	18.01.2018
6	Ungemähter Rasen muss dunkelgrün und gemähter Rasen hellgrün markiert werden.	Prof. Schneider	18.01.2018	Hr. Kreuer	18.01.2018
7	Die Karte muss zyklisch aktualisiert werden.	Prof. Schneider	18.01.2018	Hr. Kreuer	18.01.2018
8	Die Umsetzung muss als Matlab-Skript erfolgen, so dass eine Einbindung in Simulink als Matlab-Funktion möglich ist.	Prof. Schneider	18.01.2018	Hr. Kreuer	18.01.2018
9	Die Initialisierung muss 1s und die zyklische Darstellung muss 1ms unterschreiten.	Prof. Schneider	18.01.2018	Hr. Kreuer	18.01.2018

Schnittstellen für die Modellierung eines 3-rädrigen Fahrzeugs mit Geschwindigkeiten, Ortsvektoren und Koordinatensystemen.

Funktionaler Systementwurf / Technischer Systementwurf

Bei der Größe des zu erstellenden Modells werden die Schritte Funktionaler Systementwurf / Technischer Systementwurf des V-Modells zusammen gelegt und bereits Schnittstellen zwischen den einzelnen Blöcken definiert.

Das Fahrzeugmodell wird unterteilt in

• ein Block "Gieren und Geschwindigkeit in Achsmitte", in dem die Position und Geschwindikeit der Punkte M und D in Fahrzeugkoordinaten K bestimmt werden.
• und zwei Blöcke "Transformation und Integration Punkt M/D", in denen Position und Geschwindikeit der Punkte M und D in Inertialkoordinaten I bestimmt werden.

Funktionaler Systementwurf für die Modellierung eines 3-rädrigen Fahrzeugs mit Geschwindigkeiten, Ortsvektoren und Koordinatensystemen.

Komponentenspezifikation

Das Modell wird insgesamt als Komponente aufgefasst, d. h. die einzelnen Blöcke aus dem Systementwurf werden als Bestandteil der Komponente "Fahrzeugmodell" definiert. An dieser Stelle wäre es selbstverständlich möglich, die Komponente weiter aufzuteilen (damit würde die Komponente in Teilsystem umbenannt) und auch beim Testen diese einzelnen Komponenten dann zu berücksichtigen.

xxx hier fehlt noch eine Komponentenspezfikation, die genau darlegt, wie die Berechnung vonstatten gehen soll! xxx

Programmierung

Bei der Bestimmung der Geschwindikeit in M wird mit dem Satz "räumliche Bewegung" die bekannte Geschwindigkeit in R, der Relativdrehvektor der Koordinatensysteme K gegenüber I sowie der Ortsvektor zwischen R und M verwendet (siehe ):

$\vec{v}_M = \vec{v}_R + ^{IK} \vec{\omega} \times \vec{r}_{RM}$

Im körperfesten Koordinatensystem K beschrieben folgt eine Beschreibung, in der jeder Term selbst 3 Komponenten (x, y, z) enthält und mit denen jetzt im jeweiligen Koordinatensystem gerechnet werden kann (das ging bei der vektoriellen Schreibweise oben noch nicht!).

$_K \underline{v}_M = _K \underline{v}_R + ^{IK} _K \underline{\omega} \times _K \underline{r}_{RM}$

Mit den eingetragenen Komponenten sieht die Gleichung wie folgt aus:

$_K \underline{v}_M = \begin{bmatrix} v_{Rx}\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \dot{\psi} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} -l/2\\ b/2\\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_R - b/2 \cdot \dot{\psi}\\ -l/2 \cdot \dot{\psi}\\ 0 \end{bmatrix}$

Zur Bestimmung der Gierrate wird obiger Ansatz erneut verwendet, um von der bekannten Geschwindigkeit in R auf die ebenfalls bekannte Geschwindikeit in L "zu schließen", sodass der Relativdrehvektor der Koordinatensysteme K gegenüber I in K-Koordinaten bestimmt werden kann (jetzt mit Komponenten besser Spaltenmatrix genannt: $^{IK} _K \underline{\omega}$). Es folgt:

$_K \underline{v}_L = _K \underline{v}_R + ^{IK} _K \underline{\omega} \times _K \underline{r}_{RL}$.

Mit eingesetzten Komponenten ergibt sich im körperfesten System K:

$\begin{bmatrix} v_{Lx}\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_{Rx}\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \dot{\psi} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0\\ -l\\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_{Rx} + b \cdot \dot{\psi}\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$.

Aus Zeile 1 der obigen Gleichung kann die Gierrate (selbstverständlich im körperfesten System K) mit nachstehendem Zusammenhang ermittelt werden.

$v_{Lx} = v_{Rx} + b \cdot \dot{\psi}$

Umgestellt folgt daraus:

$\dot{\psi} = \frac{v_{Rx} - v_{Lx}}{b}$

Um die Position des Punktes M in Inertialkoordinaten zu berechnet, wird seine Geschwindigkeit in Intertialkoordinaten I benötigt, da diese dann durch eine einfache Integration in die Position überführt werden kann. Im körperfesten System ist dies nicht erlaubt bzw. möglich, da dieses sich dreht! Mit Hilfe einer Transformationsmatrix kann diese Umrechnung in einem Schritt erfolgen.

$_I \underline{v}_M = ^{IK}\textbf{A} \cdot _K \underline{v}_M = \begin{bmatrix} \cos{\psi} & -\sin{\psi} & 0\\ \sin{\psi} & \cos{\psi} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot _K \underline{v}_M$

Der über den Ortsvektor $\vec{r}_{RD}$ von R nach D beliebig wählbare Punkt D kann genauso wie oben der Mittelpunkt M behandelt werden. Die Gleichungen in Kurzform dazu sind wie folgt.

$\vec{v}_D = \vec{v}_R + ^{IK} \vec{\omega} \times \vec{r}_{RD}$

Im körperfesten Koordinatensystem K beschrieben folgt eine Beschreibung, in der jeder Term selbst 3 Komponenten (x, y, z) enthält und mit denen jetzt im jeweiligen Koordinatensystem gerechnet werden kann (das ging bei der vektoriellen Schreibweise oben noch nicht!).

$_K \underline{v}_D = _K \underline{v}_R + ^{IK} _K \underline{\omega} \times _K \underline{r}_{RD}$

Das Ergebnis für D lautet:

$_K \underline{v}_D = \begin{bmatrix} v_{Rx} - r_{RDy} \cdot \dot{\psi}\\ r_{RDx} \cdot \dot{\psi}\\ 0 \end{bmatrix} \quad \mbox{mit dieser zuvor ausgemessenen Spaltenmatrix} \quad _K \underline{r}_{RD} = \begin{bmatrix} r_{RDx}\\ r_{RDy}\\ 0 \end{bmatrix}$.

Komponententest

Da es sich bei dieser Entwicklung um die einer einzelnen Komponente handelt, schließt der Komponententest mit dem Testbericht die Entwicklung ab.

ID	Testfallbeschreibung	Eingang $_Kv_{Lx} [\mbox{m/s}]$	Eingang $_Kv_{Rx}[\mbox{m/s}]$	Erwartetes Ergebnis	Testergebnis	Testperson	Datum
1	Das Fahrzeugmodell steht.	0	0	Alle Ausgänge sind Null.	OK	Prof. Göbel	10.06.2017
2	Das Fahrzeugmodell fährt eine Rechtskurve.	1	0	Rechtskurve: Negative Gierrate, negativer Gierwinkel.	OK	Prof. Göbel	10.06.2017
3	Das Fahrzeugmodell fährt eine Linkskurve.	0	1	Linkskurve: Positive Gierrate, positiver Gierwinkel.	OK	Prof. Göbel	10.06.2017
4	Das Fahrzeugmodell fährt geradeaus.	1	1	Keine Gierrate und Gierwinkel, $_Kv_M = _Kv_L = _Kv_R$.	OK	Prof. Göbel	10.06.2017

Als Abschluss zeigt die letzte Abbildung dieses Artikels eine Ergebnisdarstellung der Fahrzeugbewegung in I-Koordinaten (Draufsicht).

Ergebnisdarstellung für die Modellierung eines 3-rädrigen Fahrzeugs in einer x-y-Draufsicht

Zusammenfassung

Das Modell ist fertig und funktioniert wie gewünscht! Somit ist die Entwicklung von Algorithmen möglich, ohne ein Fahrzeug in Hardware zur Verfügung zu haben. Dadurch eröffnen sich ernorme Möglichkeiten wie z. B. simultanes Entwickeln, automatisiertes Testen, simulative Auslegung von Reglern u. s. w.!

Literaturverzeichnis

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