MATLAB Repetitorium - Einführung

Einstieg

Aufgabe 1.1

Quadrieren Sie die Zahlen 3, pi, −1 und i mithilfe des Operators „^“ und ziehen Sie aus den Ergebnissen jeweils die Wurzel.

Musterlösung 

% Aufgabe 1.1:
%   zi : Variable für die Zahl
%   qi : das Quadrat der Zahl
%   wi : die Wurzel aus dem Quadrat

z1 = 3
q1 = z1^2
w1 = sqrt( q1 )

z2 = pi
q2 = z2^2
w2 = sqrt( q2 )

z3 = -1
q3 = z3^2
w3 = sqrt( q3 )

z4 = i
q4 = z4^2
w4 = sqrt( q4 )

Aufgabe 1.2

Wählen Sie unterschiedliche Winkel w zwischen 0 und π. Berechnen Sie für jeden Winkel die Summe der Quadrate von sin(w) und cos(w).

Musterlösung 

% Aufgabe 1.2:
%   wi : verschiedene Winkel zwischen 0 und pi
%   ei : Summe von sin- und cos-Quadrat zu wi

w1 = 0
e1 = sin(w1)^2 + cos(w1)^2

w2 = pi
e2 = sin(w2)^2 + cos(w2)^2

w3 = pi/2
e3 = sin(w3)^2 + cos(w3)^2

w4 = pi/4
e4 = sin(w4)^2 + cos(w4)^2

w5 = pi/6
e5 = sin(w5)^2 + cos(w5)^2

Aufgabe 1.3

Erzeugen Sie das 1x5-Array sval, das die fünf Sinus-Werte für die Bogenmaß-Winkel 0, π/6, π/4, π/2 und π enthält. Führen Sie die gleichen Rechnungen für die Grad-Winkel 0, 30°, 45°, 90° und 180° durch. Hierzu müssen Sie die Winkel ins Bogenmaß umrechnen, da die MATLAB-Funktionen sin und cos ihre Argumente im Bogenmaß erwarten – zur Erinnerung: π entspricht 180°.

Versuchen Sie es auch einmal mit den Funktionen sind und cosd.

Musterlösung 

% Aufgabe 1.3:
%   rval : Array mit verschiedenen Winkeln

rval = [ 0, pi/6, pi/4, pi/2, pi ]
sval = [ sin(0), sin(pi/6), sin(pi/4), sin(pi/2), sin(pi) ]
frsin = sin( rval )
frcos = cos( rval )

c = pi/180
wval = [ 0, 30, 45, 90, 180 ]
cval = [ sin(0*c), sin(30*c), sin(45*c), sin(90*c), sin(180*c) ]
fwsin = sin( wval * c )

dval = [ sind(0), sind(30), sind(45), sind(90), sind(180) ]
fsind = sind( wval )

fcosd = cosd( wval )

Aufgabe 1.4

Was erhalten Sie, wenn Sie den Spaltenvektor v = [2;3] mit der Matrix A = [1 0;0 −1] multiplizieren? Was ist das Ergebnis von A * A?

Musterlösung 

% Aufgabe 1.4:

v = [2;3] 
A = [1 0; 0 -1]

A_v = A * v

A_A = A * A

Aufgabe 1.5

Erzeugen Sie einen Zeilenvektor, der als Komponenten nicht Zahlen, sondern Buchstaben enthält. Überprüfen Sie den Typ des Vektors mit der Funktion whos.

Musterlösung 

% Aufgabe 1.5:

s = [ 'H', 'e', 'l', 'l', 'o' ]

whos s

Aufgabe 1.6

Versuchen Sie, durch bewusst falsche Anweisungen Fehlermeldungen zu erzeugen, um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie MATLAB auf Fehler reagiert. Verwenden Sie die Cursor-Tasten, um aus der Command History vorher bereits benutzte Befehle zu wiederholen und zu verändern. Schauen Sie sich auch einmal den Workspace-Editor an, mit dem Sie zum Beispiel die Inhalte von Variablen mittels Copy & Paste nach MS-Excel übernehmen können.

Musterlösung 

% Aufgabe 1.6:
%   Beispiele für fehlerhafte Anweisungen

e0 = 3,4 * 3

e1 = 'Hello, 
      world'

e2 = [5 2] * [3 3]

---

Symbolisches Rechnen

Hinweis: Statt „* / ^“ verwenden sie „.* ./ .^“ (Punktoperator vor Operation anwenden)

Aufgabe 2.1

Definieren Sie folgende Funktionen mit Matlab (Befehle: syms)

$y=2x^2+12x^2+19x+9$
$y=-\frac{1}{58}(x^2-100x-416)$
$y=-\frac{(x-1)(x+5)}{(x+1)^2(x-3)}$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.1:
syms x y 
y = 2.*x.^3 + 12.*x.^2 + 19.*x + 9;
y = (-1./58)*(x.^2 - 100.*x -416);
y = ((x-1).*(x+5))./((x+1).^2 .* (x-3));
clear x y

Aufgabe 2.2

Multiplizieren Sie folgende Ausdrücke aus (Befehle: expand())

$(3x-2y)^3$
$(4x-y)^4$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.2:
syms x y 
expand((3.*x - 2.*y)^3);
expand((4.*x - y)^4);
clear x y

Aufgabe 2.3

Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke (Befehle: exp(), log(), simplify())

$sin(x)^2+cos(x)^2$
$e^{ln(x)}$
$\frac{a^2-b^2}{a-b}$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.3:
syms x y 
simplify(sin(x).^2 + cos(x).^2);
simplify(exp(log(x)));
simplify((x.^2 - y.^2)./(x-y));
clear x y

Aufgabe 2.4

Verwenden Sie simplify zur Ausführung der Polynomdivision P3/P1.

$P_3(x)=x^3-6x^2-x+6=0,\ P_1(x)=x-1$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.4:
syms x P1 P3
P1 = x - 1;
P3 = x.^3 - 6.*x.^2 - x + 6;
simplify(P3/P1);
clear x P1 P3

Aufgabe 2.5

Lösen Sie folgende Gleichungen (Befehl: sqrt(), log10(), solve()).

Hinweis: Benutzen Sie „==“ statt „=“

$11-\sqrt{x+3}=6$
$3^x=4^{x-2}\cdot 2^x$
$lg(6x+10)-lg(x-3)=1$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.5:
syms x
solve(11-sqrt(x+3) == 6, x);
solve(3.^x == 4.^(x-2) .* 2.^x, x);
solve(log10(6.*x + 10) - log10(x - 3) == 1, x);
clear x

Aufgabe 2.6

Berechnen Sie folgende Grenzwerte (Befehle: limit(), inf).

$^{lim}_{x\rightarrow 0}\frac{2x^2+5x}{3x}$
$^{lim}_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x}$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.6:
syms x
limit((2.*x^2 + 5.*x)./(3.*x),x,1);
limit(1./x,x,inf);
clear x

Aufgabe 2.7

Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung folgender Funktionen (Befehle: diff()).

$x^5\cdot \ln(x)$
$4\cdot \sin(x)\cdot \tan(x)$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.7:
syms y x
y = x.^5 + log(x);
ydiff = diff(y);
ydiffdiff = diff(ydiff);
subplot(121)
fplot(y);
subplot(122);
fplot(ydiff);

y = 4.*sin(x).*tan(x);
ydiff = diff(y);
ydiffdiff = diff(ydiff);
clear x y

Aufgabe 2.8

Berechnen Sie das unbestimmte Integral folgender Funktionen (Befehle: int()).

$\int\frac{3x^8}{x^3+1}dx$
$\int\frac{e^{2x}}{1+e^x}dx$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.8:
syms x
int((3.*x.^8)./(x.^3 +1),x);
int(exp(2.*x)./(1+exp(x)),x);
clear x

Aufgabe 2.9

Berechnen Sie das bestimmte Integral folgender Funktion (Befehle: int()).

$\int^1_0\frac{x}{(1+x^2)^2}dx$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.9:
syms x y
int(x./((1 + x.^2).^2),x,0,1)
clear x y

Aufgabe 2.10

Für die Schnellen: Erkundigen Sie sich über folgende Berechnungen zur Funktionsanalyse bzw. Kurvendiskussion in Matlab (Befehle: diff(), subs(), solve(), vpa()):

1. Berechnen von lokalen Extremstellen
2. Berechnen von Wendestellen
3. Berechnen des y-Achsenabschnittes

Wenden Sie die Berechnungen auf die Aufgaben aus Teil 2.1 an.

Musterlösung 

% Aufgabe 2.10:
syms x y1 y2 y3 
y1 = 2.*x.^3 + 12.*x.^2 + 19.*x + 9;
y2 = (-1./58)*(x.^2 - 100.*x -416);
y3 = ((x-1).*(x+5))./((x+1).^2 .* (x-3));

%% y1
y1diff1 = diff(y1);
y1diff2 = diff(y1diff1);

ycrossY1 = subs(y1,0);
ycrossX1 = 0;

max = solve(y1diff1 == 0,x);
extremaX1 = vpa(max);
extremaY1 = subs(y1,extremaX1);

inflection = solve(y1diff2 == 0,x);
inflectionX1 = vpa(inflection);
inflectionY1 = subs(y1,inflectionX1);

subplot(131);
fplot(y1);
hold on;
plot(ycrossX1,ycrossY1,'b*');
hold on;
plot(extremaX1,extremaY1,'r*');
hold on;
plot(inflectionX1,inflectionY1,'g*');


%% y2
y2diff1 = diff(y2);
y2diff2 = diff(y2diff1);

ycrossY2 = subs(y2,0);
ycrossX2 = 0;

max = solve(y2diff1 == 0,x);
extremaX2 = vpa(max);
extremaY2 = subs(y2,extremaX2);

inflection = solve(y2diff2 == 0,x);
inflectionX2 = vpa(inflection);
inflectionY2 = subs(y2,inflectionX2);

subplot(132);
fplot(y2);
hold on;
plot(ycrossX2,ycrossY2,'b*');
hold on;
plot(extremaX2,extremaY2,'r*');
hold on;
plot(inflectionX2,inflectionY2,'g*');

%% y3
y3diff1 = diff(y3);
y3diff2 = diff(y3diff1);

ycrossY3 = subs(y1,0);
ycrossX3 = 0;

max = solve(y3diff1 == 0,x);
extremaX3 = vpa(max);
extremaY3 = subs(y3,extremaX3);

inflection = solve(y3diff2 == 0,x);
inflectionX3 = vpa(inflection);
inflectionY3 = subs(y3,inflectionX3);

subplot(133);
fplot(y3);
hold on;
plot(ycrossX3,ycrossY3,'b*');
hold on;
plot(extremaX3,extremaY3,'r*');
hold on;
plot(inflectionX3,inflectionY3,'g*');