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| '''Autor:''' [[Benutzer:Junjie_Lyu | Junjie Lyu]] <br/>
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| '''Betreuer:''' [[Benutzer:Ulrich_Schneider| Prof. Schneider]]<br/>
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| ==Einleitung==
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| In diesem Artikel wird ein Spurpolynom des Carolo Cup Fahrzeugs beschrieben. Daher befasst sich dieser Artikel mit der Berechnung des Spurpolynoms.
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| ==Regressionsanalyse[https://www.stksachs.uni-leipzig.de/files/media/pdf/lehrbuecher/informatik/Regressionsanalyse.pdf]==
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| ===Anleitung===
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| Ziel der Regressionsanalyse am häugigsten ist es, Beziehung zwischen einer abhängigen und einer oder mehreren unabhängigen Variable festzustellen, um ein Vorhersagemodell zu erstellen. Wenn nun zusätzliche Werte x ohne zugehörigen Wert y vorliegen, dann kann das angepasste Modell zur Vorhersage des Wertes von y verwendet werden.
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| ===Polynomische Regression===
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| Im Falle der polynomischen Regression vom Grad 2 wird die Funktion
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| <math>\hat{y} = a \cdot \hat{x^{2}} + b \cdot \hat{x}+ c</math>
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| unter der Bedingung gesucht, dass die Funktion
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| <math>V(a,b,c) = \sum_{i=1}^k (y_i-\hat{y_i})^2 = \sum_{i=1}^k(y_i-a \cdot x_i^2-b \cdot x_i - c)^2\qquad(1)</math> <br>
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| der Summe der Quadrate der Abstände der tatsächlichen y-Werte von berechneten <math>\hat{y}</math> -Werten ein Minimum hat.
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| Zur Bestimmung der Konstanten <math> a,b,c </math> in Gleichung (1) werden die partiellen Ableitungen <math>\frac{\partial V}{\partial a} </math>, <math>\frac{\partial V}{\partial b} </math> und <math>\frac{\partial V}{\partial c} </math> gleich null gesetzt, um jeweils das minimum zu erhalten:<br>
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| Partielle Ableitung nach <math>a</math>:
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| <math> \longrightarrow \frac{\partial V(a,b,c)}{\partial a}=2 \cdot \sum_{i=1}^k(y_i-a \cdot x_i^2-b \cdot x_i - c) \cdot (-x_i^2) </math>
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| dividiert durch <math> k </math> ergibt: <math> \quad \overline{y_i x_i^2 } = a \cdot \overline{x_i^4 } + b \cdot \overline{x_i^3 } + c \cdot \overline{x_i^2 } \qquad (2) </math>
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| Partielle Ableitung nach <math>b</math>:<br>
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| <math> \longrightarrow \frac{\partial V(a,b,c)}{\partial b}=2 \cdot \sum_{i=1}^k(y_i-a \cdot x_i^2-b \cdot x_i - c) \cdot (-x_i) </math>
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| dividiert durch <math> k </math> ergibt: <math> \quad \overline{y_i x_i} = a \cdot \overline{x_i^3 } + b \cdot \overline{x_i^2 } + c \cdot \overline{x_i } \qquad (3) </math>
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| Partielle Ableitung nach <math>c</math>:<br>
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| <math> \longrightarrow \frac{\partial V(a,b,c)}{\partial c}=2 \cdot \sum_{i=1}^k(y_i-a \cdot x_i^2-b \cdot x_i - c) \cdot (-1) </math>
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| dividiert durch <math> k </math> ergibt: <math> \quad \overline{y_i} = a \cdot \overline{x_i^2} + b \cdot \overline{x_i} + c \qquad (4) </math>
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| Es entsteht wieder ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen <math>a,b,c</math>,dessen Lösung die optimalen Konstanten liefert:
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| <math> a = {{(\overline{y_i x_i^2} - \overline{y_i} \cdot \overline{x_i^2}) \cdot (\overline{x_i^2} -(\overline{x_i})^2)-(\overline{y_i x_i}- \overline{y_i} \cdot \overline{x_i}) \cdot (\overline{x_i^3}-\overline{x_i} \cdot \overline{x_i^2})} \over {(\overline{x_i^4}-(\overline{x_i^2})^2) \cdot (\overline{x_i^2}-(\overline{x_i})^2)-(\overline{x_i^3}-\overline{x_i} \cdot \overline{x_i^2})^2}}</math>
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| <math> b = {{\overline{y_i x_i}-\overline{y_i} \cdot \overline{x_i} - a \cdot (\overline{x_i^3} - \overline{x_i} \cdot \overline{x_i^2}) } \over {\overline{x_i^2}-(\overline{x_i})^2}}</math>
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| <math> c = \overline{y_i} - a \cdot \overline{x_i^2} - b \cdot \overline{x_i} </math>
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| ==Offline Modell==
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| ==Online Modell==
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| == Literatur ==
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