Infrarotsensor mit Matlab/Simulink

Autor: Janis Ostermann
Sensor: High Precision Medium Range Infrared distance sensor for NXT or EV3
Software: Arduino Software, MATLAB R2018a
Lehrveranstaltung: Signalverarbeitende Systeme im Sommersemester 2018
Dozent und Betreuer: Prof. Dr.-Ing. Ulrich Schneider

Aufgabenstellung

Die Aufgabe in der Lehrveranstaltung Signalverarbeitende Systeme aus dem Master-Studiengang Business and Systems Engineering der Hochschule Hamm-Lippstadt war es, semesterbegleitend einen zugeteilten Sensor mit der Hilfe von MATLAB/Simulink auszulesen und dessen Signalverarbeitungskette zu beschreiben, zu untersuchen und zu verstehen.

Sensor

Abb. 1: High Precision Medium Range Infrarotsensor für NXT und EV3

Bei dem in der Lehrveranstaltung genutzten Sensor mit dem Namen DIST-Nx-v3 handelt es sich um ein Sensormodul der Firma mindsensors.com welches es ermöglicht einen Infrarotsensor mit einem Lego Mindstorms NXT oder EV3 zu verbinden um eine Distanz zu messen. Bei dem dabei verwendeten Infrarotsensor handelt es sich um einen Sensor der Firma Sharp mit der Bezeichung 2Y0A21. Das DIST-Nx-v3 Modul ist kein Lego Produkt und wurde von mindsensors.com für die Verwendung mit Lego Mindstorms Produkten entwickelt. Dazu wurde die in Abbildung 1 zu sehende I²C Schnittstelle inklusive einer vorverarbeitenden Schaltung in dem Modul verbaut. Diese Schaltung ist nicht bekannt und geht auch nicht aus den Dokumentationen von mindsensors.com hervor. Es ist anzunehmen, dass ein Mikrocontroller verbaut wurde, da dieser zum Aufbau einer Verbindung über I²C benötigt wird. Über dies hinaus ist die sensorseitig vorhandene Schnittstelle des Sharp Sensors weiterhin nutzbar. Diese besteht aus einer JST (Japan Solderless Terminals) Buchse mit drei Pins.

Da es Inhalt der Aufgabenstellung war, sich möglichst nah mit einem Sensor auseinander zu setzen, wird im folgenden Artikel der Sensor ausschließlich über die sensorseitige Schnittstelle ausgelesen. Somit wird die modulseitige Nachverarbeitung der Sensorwerte umgangen um einen genaueren Blick auf die Funktionswiese und das Verhalten des Sharp Sensors zu erhalten.

Sharp 2Y0A21:

Bei dem verwendeten Infrarotsensor handelt es sich um einen Infrarot Abstandssensor der Firma Sharp mit der Bezeichnung 2Y0A21.

Der Sensor besitzt folgende Technische Daten:

• Arbeitsbereich von 10 bis 80 Zentimetern
• Präzisionsbereich zwischen 10 und 40 Zentimetern (laut Hersteller)
• Stromaufnahme 30 Milliampere
• Betriebsspannung zwischen 4,5 und 5,5 Volt
• analoge Ausgangsspannung zwischen 0 und 5 Volt
• Abmessungen 13 x 44,5 x 13,5 mm (Höhe x Breite x Tiefe).

Wie in Abbildung 2 zu erkennen ist, besteht der Infrarotsensor aus einem optischen Positionssensor (Position Sensitive Device), einer Infrarot Diode und einer signalverarbeitenden Schaltung. Die Reflektivität des gemessenen Objekts, die Umgebungstemperatur und die Betriebsdauer des Sensors werden nicht in die Abstandsmessung eingerechnet. Bei der Triangulation wird, wie in Abbildung 3 dargestellt, der Winkel des Infrarotlichts welches vom zu messenden Gegenstand reflektiert wird gemessen. In Abhängigkeit vom Winkel verändert sich die Ausgangsspannung des Sensors zwischen 0 und 5 Volt. Mithilfe der im Datenblatt angegebenen Kennlinie (Abbildung 4) kann die Ausgangsspannung in den Abstand umgerechnet werden. Der Mindestabstand des Sensors, 10 Zentimeter, entspricht somit 2,3 Volt Ausgangsspannung. Bei dem maximalen Abstand von 80 Centimetern beträgt die Ausgangsspannung 0,4 Volt. Der Sensor wird wie in Abbildung 5 dargestellt mit einem Mikrocontroller verbunden.

Abb. 2: Blockschaltbild des Infrarotsensors

Abb. 3: Darstellung der Triangulation

Abb. 4: Kennlinie des Infrarotsensors

Abb. 5: Pin Belegung

Signalverarbeitung

Um die analogen Sensordaten des Sharp 2Y0A21 Infrarotsensors in MATLAB oder für eine andere Anwendung nutzen zu können, ist es nötig diese zu verarbeiten und an einer digitalen Schnittstelle zur Weitergabe zur Verfügung zu stellen. Die Werte sollen wie in der Aufgabenstellung beschrieben in MATLAB verarbeitet, möglicherweise gefiltert und grafisch dargestellt werden. Im Folgenden sollen die Schritte beschrieben werden, die benötigt wurden um dies zu realisieren.

Hardwareaufbau

Abb. 6: Hardwareaufbau

Herzstück des Hardwareaufbaus ist das Sensormodul, welches den Sharp 2Y0A21 beinhaltet. Dieses ist, wie die Abbildung 6 zeigt, mit der Hilfe von Jumper-Kabeln über den sensorseitigen Anschluss mit dem Arduino UNO verbunden. Der Vo Pin des Sensors ist mit der Ausgangsspannung belegt und wird an den analogen Input Port A0 des Arduino UNO angeschlossen. Der GND des Sensors wird mit dem Ground des Arduino UNO verbunden. Der Vcc Pin des Sensors ist mit der Versorgungsspannung des Sensors belegt und wird an die 5V Spannung des Arduino UNO angeschlossen. Da die Sensorsignale analog an den Arduino UNO übertragen werden ist kein Bussystem zur Übertragung der Sensordaten nötig. Der Arduino UNO ist über die vorhandene USB Schnittstelle mit einem PC verbunden. Über diese Verbindung bezieht er 5 Volt Versorgungsspannung für sich und den Sensor. Der PC führt MATLAB aus, welches das Programm zur weiteren Verarbeitung der Daten beinhaltet. Dieses bekommt über den COM-Port des PCs Zugriff auf die digitalen Sensordaten.

Mikrocontroller

Abb. 7: Arduino UNO

Arduino UNO Abbildung einfügen Der DIST-Nx-v3 Sensor verfügt über zusätzliche vorverarbeitende Elektronik, welche es ermöglicht die rohen Sensorsignale des Sharp 2Y0A21 zu Filtern und eine Kommunikation mit einem Mikrocontroller über I²C herzustellen. Im Fall der Aufgabenstellung ist es nötig einen Mikrocontroller hinzuzuziehen, welcher die Umwandlung der analogen in digitalen Signale durchführt und diese zur Weiterverarbeitung an einen MATLAB ausführenden PC überträgt. Hierzu wurde ein Arduino UNO gewählt, dieser ist in Abbildung 7 zu sehen. Dieser verfügt über AD-Wandler, welche in der Lage sind das analoge Signal zu digitalisieren. Das gewandelte Signal wir daraufhin über die vorhandene USB-Schnittstelle einem PC zur Weiterverarbeitung zur Verfügung gestellt. Der Arduino UNO arbeitet mit 5 Volt Versorgungsspannung, welche er gleichzeitig zur Datenübertragung über die USB-Schnittstelle des PCs bezieht.

Analog-Digital-Umsetzter

Abb. 8: ATmega328p Mikrocontroller des Arduino UNO

Um die analogen Sensorsignale des Infrarotsensors verarbeiten zu können, müssen diese zunächst digitalisiert werden. Zu diesem Zweck können die Analog-Digital-Umsetzer (ADU) des auf dem Arduino UNO operierenden ATmega328p Mikrocontrollers genutzt werden. Der Mikrocontroller verfügt über 10 Bit aufgelöste ADUs welche nach dem Prinzip der sukzessiven Approximation agieren. Bei diesem Vorgehen wird ein ständiger Vergleich zwischen der analogen Eingangsspannung des ADUs mit einer Referenzspannung durchgeführt. Bei jedem Durchlauf wird die Referenzspannung so geändert, dass sie sich der Eingangsspannung annähert. Die Auflösung des ADUs beschreibt gleichzeitig die Anzahl an Taktzyklen die erforderlich sind um ein analoges Signal zu digitalisieren.

Der Analog-Digital-Umsetzter besitzt folgende Technische Daten:

Abb. 7: Sukzessive Approximation

• Auflösung von 10 Bit
• Wandlungszeit 13 bis 260 Mikrosekunden
• Genauigkeit +- 2 LSB (least significant bit)
• Eingangsspannung 0 Volt (Ground) bis Eingangsspannung des Mikrocontrollers abzüglich eines LSB

Die Vorgehensweise des ADUs lässt sich anhand von Abbildung 7 erläutern. Im ersten Schritt wird das höchstwertige Bit (most significat bit) mit der Eingangsspannung des ADU verglichen. Wenn die Eingangsspannung größer als das MSB ist, wird das Bit gesetzt. Wenn die Eingangsspannung jedoch kleiner als das MSB ist wird das Bit auf Null zurückgesetzt. Dieser Schritt dauert einen Taktzyklus. Im zweiten Schritt wird das nächst niedrigere Bit gesetzt. Bei jedem Schritt halbiert sich die Wertigkeit des Bits. Bei dem erneuten Vergleich der Spannungen werden die Wertigkeiten aller vorherigen Bits addiert. Wenn diese Summe kleiner als die Eingangsspannung ist, wir das zweite Bit gesetzt. Wenn die Eingangsspannung jedoch niedriger ist als die Summe, wird das Bit wiederum zurückgesetzt. Dieser Ablauf wird für jedes Bit der Auflösung durchgeführt. Sind alle Bits überprüft worden, resultiert die entstandene Bitfolge als digitales Abbild der Eingangsspannung. Bei der vorliegenden Anwendung wird die maximale Ausgangsspannung des Sensors von 5 Volt durch die 10 Bit Auflösung des ADUs die Spannung als Wert zwischen 0 und 1024 (210) darstellt.

Das LSB hat eine Wertigkeit und der Sensor somit eine Auflösung von:

$\frac{5 V}{1023} = 4,89 mV.$

Der erste Vergleich des ADU startet mit dem MSB, welches folgende Wertigkeit Aufweist:

$\frac{5 V}{2} = 2,5 mV.$

Digitale Signalverarbeitung

Die digitale Signalverarbeitung beginnt, sobald die analogen Sensorwerte von dem Analog-Digital-Umsetzter vom Mikrocontroller des Arduino UNO in digitale Signale umgewandelt wurden. Dem Datenblatt des Sensors ist zu entnehmen, dass für eine Messung 38.3ms ± 9.6ms benötigt. Daher wird ein Code für den Arduino geschrieben, welcher die Sensorsignale mit einem Takt von 50 Millisekunden abgetastet. Als Sensorwert wird ein Wert vom analogen Eingangs-Pin A0 eingelesen. Der Sensorwert wird daraufhin an die serielle Schnittstelle des Arduino UNOs gesendet.

Der Code des Arduino lautet wie folgt:

int sensorPin = 0;
int sensorDelay = 50;
int sensorAdValue;
 
void setup() {
  Serial.begin(9600);
}
 
void loop() {
  sensorAdValue = analogRead(sensorPin);
  Serial.println(sensorAdValue);
  delay(sensorDelay);
}

Die Daten welche an der seriellen Schnittstelle anliegen werden daraufhin von MATLAB ausgelesen. Das MATLAB Programm nutzt dazu die funktionen fopen, fgetl und fclose um mit der seriellen Schnittstelle zu Kommunizieren. Dazu muss ein Objekt erzeugt werden welches die Informationen

• Nummer des COM-Ports
• Baud Rate des Arduino UNOs
• Bit Breite

enthält. Mit diesen Informationen kann eine Verbindung zur seriellen Schnittstelle hergestellt werden. Die Rückgabewerte der fgetl-Funktion sind jedoch in ASCII Format und müssen daher zunächst auf einen Zahlenwert gecastet werden. Erst nach diesen Schritten kann mit dem Sensorwert gerechnet werden. Um aus dem übertragenen Zahlenwert den Spannungswert des Infrarotsensors zu errechnen wir eine Umrechnung benötigt

$V= Zahlenwert \cdot \frac{5 V}{1023}$

Diese Vorgehensweise wird in MATLAB folgendermaßen umgesetzt:

port =  'COM4';
baudRate = 9600;

serialArduino = serial(port,'BaudRate',baudRate,'DataBits',8);
fopen(serialArduino) % Verbindung mit serieller Schnittstelle aufbauen

ASCII = fgetl(serialArduino); % Sensorwert von serieller Schnittstelle auslesen
ArdV = str2num(ASCII); % Sensorwert von ASCII in Zahlenwert umwandeln
V = ArdV*(5/1023); % Umrechnungsfaktor auf Volt

fclose(serialArduino); % Verbindung mit serieller Schnittstelle beenden

Um die richtigen Distanzen zu den gemessenen Spannungen zu erhalten wurde eine Lookup-Tabelle implementiert. Diese ist eine Nachbildung der Infrarotsensor Kennlinie aus Abbildung 4 für die Distanzen zwischen 10 um 80 Zentimetern. Dies wurde auf Grund dessen, dass die Kennlinie aus Geraden zusammengesetzt wurde, ebenfalls als zusammengesetzte Funktion aus Geradengleichungen realisiert. Um eine Berechnung der Distanzen zu den jeweiligen Spannungen zu realisieren wurde die Funktion umgestellt. Die im Datenblatt dargestellte Kennlinie stellt den Zusammenhang zwischen Distanz und Spannung dar. Jedoch wird die Distanz auf der x-Achse angegeben. Die die benötigte Berechnung wird die Spannung auf der x-Achse benötigt. Dazu wurden bei der Aufstellung der Geradengleichungen die Achsen vertauscht. Es ergibt sich folgende Funktion:

function [ CM ] = LUT( V )

if V < 0.44
    CM = (-1)*(500)*V+290;
elseif V < 0.51
    CM = (-1)*(1000/7)*V+(930/7);
elseif V < 0.6 
    CM = (-1)*(1000/9)*V+(350/3);    
elseif V < 0.74 
    CM = (-1)*(500/7)*V+(650/7);    
elseif V < 0.93    
    CM = (-1)*(1000/19)*V+(1500/19);
elseif V < 1.01   
    CM = (-1)*(469/8)*V+(67617/800);
elseif V < 1.31    
    CM = (-1)*(177/10)*V+43.187;
elseif V < 1.65    
    CM = (-1)*(487/34)*V+38.76382353;    
else
    CM = (-1)*(171/22)*V+27.955;
 
end

end

Mit Hilfe dieser Lookup-Tabelle werden die Sensorsignale in MATLAB in Distanzen umgerechnet. Dazu wird der Funktion ein Spannungswert übergeben. Die Funktion unterscheidet mit Hilfe der if-Bedingungen zwischen den verschiedenen Abschnitten. Daraufhin wird durch die hinterlegte Geradengleichung eine Distanz bestimmt. Diese Distanz wird als Rückgabewert der Funktion an das Hauptprogramm zurückgegeben.

Ergebnis

Die durchgeführte Datenverarbeitung ermöglicht es erste Messungen durchzuführen. Die Ergebnisse der Messung sollen zeigen wie hoch ein möglicher Fehler der Messungen ausfällt. Dazu werden im Folgenden die verarbeiteten ungefilterten Messwerte analysiert, bewertet und möglicherweise anschließend daran eine Filterung durchgeführt.

Messunsicherheit:

Mit Hilfe der Lookup-Tabelle konnten Erste Messungen durchgeführt werden. Es zeigte sich dabei schnell, dass die gemessenen Werte stark rauschten. Um dies darzustellen wurde eine Messreihe durchgeführt.

Dabei wurde auch die Messunsicherheit berechnet. Sie berechnet sich wie folgt:

$u_A = \bar x \pm \frac{t\cdot(n-1)}{\sqrt n}\cdot s$

Die Messunsicherheit berechnet mit Hilfe der Konstanten der Stundent-t-Verteilung. Dieser kann aus der zugehörigen Tabelle Abgelesen werden. Für den Sensor wird dabei eine Überschreitungswahrscheinlichkeit $\alpha$ von 95% gewählt, da dies bei industriellen Anwendungen, wie auch Messtechnik, einem üblichen Vertrauensniveau entspricht. Zusammen mit dem Stichprobenumfang n von 10 Messungen ergibt sich eine Konstante von 2,26. Des weiteren wird für die Berechnung der Messunsicherheit die Standardabweichung s benötigt. Diese berechnet sich folgendermaßen:

$s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\cdot\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2}$


Die Standardabweichung berechnet sich aus dem Stichprobenumfang n, dem Mittelwert aller Werte der Stichprobe $\bar x$ und den Messwerten $x_i$.

Die Berechnungen der Messreihe lieferten folgende Ergebnisse:

Wahrer Wert (in cm)	Messungen in cm										Standardabweichung	Messunsicherheit	Vertrauensbereich
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
10	9,738	9,092	9,282	9,472	9,737	9,624	8,941	9,206	9,738	9,548	0,291	0,208	10 ± 0,208
15	15,474	15,684	15,013	15,127	15,264	15,684	14,709	14,937	15,089	15,684	0,350	0,250	15 ± 0,250
20	19,950	20,241	20,332	20,650	20,559	19,740	20,104	20,650	20,422	20,559	0,311	0,222	20 ± 0,222
25	22,742	22,697	21,969	22,242	22,742	22,515	22,560	21,969	22,742	22,378	0,306	0,219	25 ± 0,219
30	34,231	33,460	29,847	30,633	33,974	32,432	33,203	33,717	34,231	31,661	1,554	1,110	30 ± 1,110
35	9,114	34,488	37,058	38,086	38,086	38,857	37,829	35,516	36,544	38,343	1,489	1,064	35 ± 1,064
40	40,193	42,285	43,331	43,680	44,727	39,628	41,588	42,634	43,331	44,029	1,651	1,180	40 ± 1,180
45	46,819	47,866	48,214	42,634	44,727	46,470	47,168	47,866	47,168	44,029	1,869	1,336	45 ± 1,336
50	53,733	54,818	49,261	51,020	52,105	55,360	49,958	48,214	49,958	55,360	2,680	1,916	50 ± 1,916
55	55,903	58,073	59,158	52,648	54,818	56,445	59,158	52,105	51,563	54,818	2,799	2,001	55 ± 2,001
60	61,010	58,073	55,360	56,988	59,158	61,010	63,103	53,190	56,445	59,158	2,966	2,120	60 ± 2,120
65	66,590	64,498	54,818	67,288	62,405	63,800	67,288	67,985	61,010	63,103	3,958	2,828	65 ± 2,828
70	61,010	65,195	67,985	77,598	59,158	62,405	65,893	80,039	75,156	60,313	7,566	5,408	70 ± 5,408
75	69,381	89,805	59,701	65,195	67,288	70,273	60,313	65,195	69,381	80,039	9,105	6,507	75 ± 6,507
80	75,156	89,805	65,195	68,683	75,156	87,363	62,405	67,288	70,273	89,805	10,369	7,410	80 ± 7,410

Die Messung ergab, dass eine extrem hohe Messunsicherheit bei den Messwerten vorliegt. Bis 25 cm scheint die Messung sehr genau zu sein. Wenn die Distanz über 50 Zentimeter erreicht steigt auch die Messunsicherheit auf über +- 2 Zentimeter an. Das scheint die aussage des Herstellers zu unterstreichen, dass der Präzisionsbereich des Sensors bei 10 bis 40 Zentimetern liegt.

Um das vorhandene Rauschen zu verringern wird ein "Gleitender Mittelwert"-Filter auf die Sensorsignale des Infrarotsensors angewendet. Dieser soll den Mittelwert über den letzten 10 Messwerten bilden und so ein Rauschen dämpfen. Es besteht jedoch die Gefahr, das kleinere Werteänderungen durch diesen Filter ebenfalls abgeschwächt werden und somit eine ungenaue Messung resultiert.

Im Folgenden ist die Messung nach der Filterung durch den "Gleitender Mittelwert"-Filter dargestellt:

Wahrer Wert (in cm)	Messungen in cm										Standardabweichung	Messunsicherheit	Vertrauensbereich
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
10	10,007	9,988	9,958	9,920	9,935	9,931	9,916	9,867	9,829	9,852	0,058	0,041	10 ± 0,041
15	15,414	15,493	15,552	15,531	15,552	15,552	15,642	15,621	15,663	15,684	0,083	0,059	15 ± 0,059
20	20,511	20,450	20,380	20,296	20,207	20,114	20,058	19,987	19,908	19,810	0,237	0,169	20 ± 0,169
25	23,937	24,312	24,340	24,683	25,021	25,050	25,079	25,440	25,787	26,125	0,685	0,490	25 ± 0,490
30	32,124	31,995	31,790	31,558	31,661	31,635	31,533	31,353	31,122	31,147	0,329	0,235	30 ± 0,235
35	38,420	38,317	37,983	37,726	37,418	37,521	37,186	37,007	36,775	36,544	0,631	0,451	35 ± 0,451
40	43,122	42,913	42,669	42,320	41,902	41,867	41,727	41,518	41,134	41,239	0,690	0,493	40 ± 0,493
45	48,547	48,303	47,989	47,640	47,115	47,080	46,871	46,592	46,122	45,773	0,916	0,654	45 ± 0,654
50	48,688	49,054	49,315	49,471	49,417	49,678	50,114	50,410	50,356	50,477	0,618	0,441	50 ± 0,441
55	56,391	56,174	55,903	55,577	55,414	55,469	55,143	54,655	54,329	53,733	0,835	0,597	55 ± 0,597
60	60,751	60,696	60,093	59,559	59,993	60,101	59,567	59,312	58,778	59,158	0,644	0,460	60 ± 0,460
65	65,533	64,955	65,095	64,955	64,955	64,378	64,796	64,936	65,075	64,498	0,320	0,229	65 ± 0,229
70	73,707	72,397	72,064	70,754	71,312	70,246	70,246	69,668	70,691	69,381	1,341	0,958	70 ±0,958
75	72,148	72,935	73,583	74,071	74,997	74,753	75,400	75,645	75,645	75,156	1,208	0,863	75 ± 0,863
80	79,178	78,202	76,737	78,640	78,884	78,152	76,931	78,345	79,551	80,039	1,048	0,749	80 ± 0,749

Abb. 8: Vergleich von ungefilterten und gefilterten Sensorsignalen

Das Ergebnis der Messung zeigt ein klar besseres Ergebnis. Die Messunsicherheiten überschreiten bei keiner Distanz einen Zentimeter. Damit ist eine enorme Verbesserung des Wahrheitsgehaltes der Messung mit dem Sharp Infrarotsensor möglich.

Abbildung 8 zeigt eine Beispielhaft aufgezeichnete Messkurve. Der Zeitpunkt 0 beschreibt dabei den zuletzt aufgezeichneten Messwert, die weiteren Zeitangaben beschreiben wie weit die Messungen in der Vergangenheit liegen, gemessen in Dezisekunden. Bei der Darstellung der Messwerte im Graphen zeigt sich, dass sich der gleitende Mittelwert träger verhält als die unverarbeiteten Sensorsignale und minimal verzögert zum rauschenden Wert angezeigt wird. Dies ist auf die Art der Glättung zurückzuführen. Durch die Mittelelwert Bildung mit den letzten 10 Messwerten wird der Wert bei aufsteigenden Werten herabgesetzt und bei absteigenden Werten heraufgesetzt.


Ausblick: Trotz umfänglicher Auseinandersetzung mit dem Thema bestehen einige Möglichkeiten das Projekt zu optimieren. Dadurch könnte eine noch korrektere Darstellung der Messwerte für reale Anwendungen realisiert werden. Folgende Vorschläge könnten zu dieser Optimierung beitragen:

• Es besteht die Möglichkeit die Lookup-Tabelle durch eigene Referenzmessungen noch genauer an die Wahren werte anzupassen um so die Umrechnung der Signale schon möglichst genau durchführen zu können
• Des weiteren besteht Verbesserungs Potential in der Auswahl eines anderen Filters, welche möglicherweise weniger träge ist und eine gleiche oder sogar bessere glättungs Wirkung hat

YouTube Video

Das YouTube Video als visueller Beleg findet sich unter folgendem Link:

Infrarotsensor DIST-Nx-v3 Sensorwerte mit Arduino UNO an MATLAB übertragen

Quellenverweise

---

→ zurück zum Hauptartikel: Signalverarbeitende Systeme