← Zum vorherigen Versionsunterschied Zum nächsten Versionsunterschied →

Version vom 2. Juni 2025, 11:17 Uhr

Dozent:	Prof. Dr.-Ing. Schneider
Lehrveranstaltung:	Signalverarbeitende Systeme
Modul	Signalverarbeitende Systeme und Systems Design Engineering
Modulbezeichnung:	BSE-M-2-1.06
Modulverantwortung:	Prof. Ulrich Schneider
Vorlesung:	Invertierter Klassenraum, Montag, 10:00 - 11:30 Uhr
Übung:	Montag, 11:45 - 12:30 Uhr
Ort:	Labor L3.1-E00-120

Übung 10.1: KOS-Trafo: Rotation+Translation, Inverse Transformation

Das Lösungsvideo finden Sie auf der Lernplattform. Gegeben is der Ortsvektor zum Punkt P $^{A} {\vec{r}}_{P}$ sowie der Rotationswinkel $γ = 5 0^{\circ}$ um die Z-Achse.

Führen Sie über eine homogene Translation eine Rotation um den Winkel $γ$ und eine Translation um den Vektor $\vec{T}$ aus.
Zeichnen Sie den transformierten Punkt Q und dessen Ortsvektor $^{A} {\vec{r}}_{Q}$ ein (vgl. Abb. 1).
Berechnen Sie anschließend die inverse Translation $^{A} {\vec{r}}_{P, 2}$

Gegeben sind:

$^{A} {\vec{r}}_{P} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array})$
$\vec{T} (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
$γ = 5 0^{\circ}$

Arbeitsergebnis: KOStrafo.m

Musterlösung 10.1

%% Gegeben
A_r_P = [1;2;3;1]; % Ortsvektor zum Punkt P in KOS A

% Translation
T = [2;2;0]'; % Translationsvektor
S = 1;        % Skalierungsfaktor
P = [0 0 0];  % Perspektiventrafo
Gamma = 50;   % Rotationswinkel im deg
R = [cosd(Gamma) -sind(Gamma) 0;sind(Gamma) cosd(Gamma) 0; 0 0 1];   % Rotationsmatrix

D = zeros(4,4); % Homogene Transformation
D(1:3,1:3)= R;
D(1:3, 4) = T;
D(4,4)    = S;
D(4,1:3)  = P

A_r_Q = D * A_r_P % KOS-Trafo

%% Inverse Transformation
A_r_P2 = inv(D)*A_r_Q

%% Ergebnisdarstellung
figure
hold on
quiver(0,0,1,0,'LineWidth',2,'Color','black','AutoScale','off'); % x-Achse
text(1.1,0,'X')
quiver(0,0,0,1,'LineWidth',2,'Color','black','AutoScale','off'); % y-Achse
text(0,1.1,'Y')
h1 = quiver(0,0,A_r_P(1),A_r_P(2),'LineWidth',2,'Color','r','AutoScale','off'); % Ursprungsvektor
plot(A_r_P(1),A_r_P(2),'ro')
text(A_r_P(1)+0.1,A_r_P(2),'P')
h2 = quiver(0,0,A_r_Q(1),A_r_Q(2),'LineWidth',2,'Color','b','AutoScale','off'); % Vektor nach Trafo
text(A_r_Q(1)+0.1,A_r_Q(2),'Q')
plot(A_r_Q(1),A_r_Q(2),'bo')
h3 = quiver(A_r_P(1),A_r_P(2),T(1),T(2),'LineWidth',2,'Color','y','AutoScale','off'); % Translationsvektor
axis equal
legend([h1,h2,h3],{'$^A\vec{r}_P$','$^A\vec{r}_Q$','$\vec{T}$'},'Interpreter','latex','Location','east')
text(-0.3,0,'\{A\}')
ylim([-0.3 4.5])

Übung 10.2: 2-fache Koordinatentransformation

Gegeben sind:

$^{A} {\vec{r}}_{P} = (\begin{array}{c} - 6, 3411 \\ - 0, 2345 \\ - 3 \end{array})$ : Ortsvektor zum Punkt P im KOS A
$^{B} {\vec{r}}_{0, A} = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 0 \end{array})$ : Translationsvektor KOS B zum KOS A im B-KOS
$^{C} {\vec{r}}_{0, B} = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 0 \end{array})$ : Translationsvektor KOS C zum KOS B im C-KOS
KOS A ist gegenüber KOS B um 10° um die Z-Achse gedreht.
KOS B ist gegenüber KOS C um 10° um die Z-Achse gedreht.

Aufgaben:

Bestimmen Sie die Vektoren $^{B} {\vec{r}}_{P}$ und $^{C} {\vec{r}}_{P}$ .
Erstellen Sie ein Ergebnisbild gemäß Abb. 2.

Abb. 2: Ergebnisdarstellung der Übung 10.2

Arbeitsergebnis: Transformationsarithmetik.m

Musterlösung 10.2

Das Lösungsvideo finden Sie auf der Lernplattform.

Übung 10.3: Transformationsarithmetik

Ein autonomes Fahrzeug erkennt mit einem hinten rechts montierten Infrarot-Sensor ein Objekt am Messpunkt M. Die Messung erfolgt im Sensorkoordinatensystem {S}. Dieses Fahrzeug besitzt ein körperfeste Koordinatensystem {K} mit dem Ursprung am Mittelpunkt des vorderen Stoßfängers. Die Position und Lage (Pose) des Fahrzeugs im Bezugskoordinatensystem {B} ist bekannt. Abb. 3 zeigt eine mögliche Situation.

Bestimmen Sie den Ortsvektor zum Objekt im Bezugskoordinatensystem $^{B} {\vec{r}}_{M}$ und zeichnen Sie mit MATLAB^®die Szene (vgl. Abb. 4) in den drei Koordinatensystemen

Sensorkoordinatensystem {S},
körperfestes Koordinatensystem {K} und
Bezugskoordinatensystem {B} .

Hinweis: In der Fahrzeugtechnik wird die Z-Achse antiparallel zum Gravitationsvektor angenommen: $^{0} \vec{Z} ↑ ↓ \vec{g}$ .

Gegeben sind:

$^{S} {\vec{r}}_{M} = (\begin{array}{c} 0, 4 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ m: Messwert des IR-Sensors
Der Winkel zwischen ${\vec{x}}_{S}$ und ${\vec{x}}_{K}$ beträgt 90°.
$^{B} {\vec{r}}_{0, K} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 0, 2 \\ 0 \end{array})$ m
Der Winkel zwischen ${\vec{x}}_{K}$ und ${\vec{x}}_{B}$ beträgt 10°.
Das Objekt hat eine Länge von 30 cm und eine Breite von 20 cm.
Das Fahrzeug hat eine Länge von 40 cm und eine Breite von 20 cm.
Die detektierte Objektkante ist parallel zu ${\vec{x}}_{B}$ ( ${\vec{x}}_{0} | | {\vec{x}}_{B}$ ).
Der IR-Sensor erfasst die Längsseite des Objektes.

Arbeitsergebnis: TransformationsarithmetikMobileRobotik.m

Musterlösung 10.3

Das Lösungsvideo finden Sie auf der Lernplattform.

Übung 10.4: Darstellung der LiDAR Messdaten

Schreiben Sie ein Skript ZeigeMessdaten, welches die gemessenen Streckendaten der Datei LiDAR.mat darstellt.

Gehen Sie in nachfolgenden Schritten vor:

Laden Sie die Messdaten.
Stellen Sie die Messwerte der Datei (x,y) als rote Punkte dar.
Das KOS ist in Fahrtrichtung x-Positiv und die y-Achse zeigt nach links (vgl. Abb. 5).

Notwendige Datei: LiDAR.mat

Nützliche Befehle: load, plot(x,y,'r.'), hold on, subplot, get, line, xlabel, ylabel

Musterlösung 10.4

Die Lösung wird in der Übung besprochen.

Übung 10.5: KOS-Trafo: Homogene transformationsmatrix, Inverse Transformation

Mit einem LiDAR Sensor der Firma Topcon wird die Fahrt eines Roboters vermessen.

Als digitale Karte liegen die Punkte des äußeren und inneren Fahrbahnrandes vor.
Auf der Fahrbahn steht Objekt O.
Der Roboter fährt geradlinig in der rechten Fahrspur vier mal je 1 m vorwärts.

Aufgaben:

Zeichnen Sie die Fahrbahn, Roboterpositionen, Objekt und Startlinie im Topcon-Koordinatensystem (T-KOS, vgl. Abb. 6).
Transformieren Sie Fahrbahn, Roboterpositionen, Objekt und Startlinie in das Welt-Koordinatensystem (W-KOS).
Zeichnen Sie die Fahrbahn, Roboterpositionen, Objekt und Startlinie im Welt-Koordinatensystem (vgl. Abb. 7).
Transformieren Sie das Objekt in das Fahrzeug-Koordinatensystem (F-KOS, vgl. Abb. 8).

Gegeben sind:

$^{T} {\vec{r}}_{0, W} = (\begin{array}{c} - 4, 7710 \\ 4, 5473 \\ 0, 03 \end{array})$ m: Ursprung des W-KOS im T-KOS
$^{T} {\vec{r}}_{S} = (\begin{array}{c} - 4, 1584 \\ 2, 8208 \\ 0, 03 \end{array})$ m: Punkt der Startlinie im T-KOS
$^{T} {\vec{r}}_{A M R} = (\begin{array}{c} - 3, 9137 \\ 2, 7293 \\ 0, 03 \end{array})$ m: Startpunkt des AMR im T-KOS
$^{T} {\vec{r}}_{O} = (\begin{array}{c} - 1, 8647 \\ - 1, 8491 \\ 0, 03 \end{array})$ m: Objektposition im T-KOS

Notwendige Dateien:

Vorlage 10.5

%% Fahrbahnmarkierungen
load('InnenLinie.mat')
load('AussenLinie.mat')

%% Gegeben
T_r_OW  = [-4.7710;4.5473;0.03;1]  % Ursprung des W-KOS im T-KOS in m
T_r_S   = [-4.1584;2.8208;0.03;1]  % Punkt der Startlinie im T-KOS in m
T_r_AMR = [-3.9137;2.7293;0.03;1]  % Startpunkt des AMR im T-KOS in m
T_r_O   = [-1.8647;-1.8491;0.03;1] % Objektposition im T-KOS in m

Musterlösung 10.5

%% Fahrbahnmarkierungen laden und sichern
InnenLinie = load('InnenLinie.mat');
AussenLinie = load('AussenLinie.mat');

%% Gegeben
T_r_OW  = [-4.7710;4.5473;0.03;1]  % Ursprung des W-KOS im T-KOS in m
T_r_S   = [-4.1584;2.8208;0.03;1]  % Punkt der Startlinie im T-KOS in m
T_r_AMR = [-3.9137;2.7293;0.03;1]  % Startpunkt des AMR im T-KOS in m
T_r_O   = [-1.8647;-1.8491;0.03;1] % Objektposition im T-KOS in m

%% Annahme: A und B sind zwei Punkte auf der Startgeraden der Aussenlinie
A = [-3.32;2.94;-0.03];
B = [-1.45;-2.33;-0.03];
AB = B-A
alpha = atand(AB(2)/AB(1)) % Drehwinkel W-KOS in T-KOS in deg

%% Roboterpose berechnen
T_AMR(:,1)=T_r_AMR; % Startpunkt des AMR im T-KOS in m
for i=2:5
    T_AMR(:,i)=T_AMR(:,i-1)+[cosd(alpha);sind(alpha);0;0]; % Roboterposen 2, 3, 4, 5
end
%% T-KOS
figure
plot(AussenLinie.PosX,AussenLinie.PosY,'k-')
hold on
plot(InnenLinie.PosX,InnenLinie.PosY,'b-')
title('T-KOS')
xlabel('x_T in m')
ylabel('y_T in m')

% Startlinie
plot(T_r_S(1),T_r_S(2),'ro')
text(T_r_S(1)-0.5,T_r_S(2),'S')
line([T_r_S(1),T_r_S(1)+0.83*sind(-alpha)],[T_r_S(2),T_r_S(2)+0.83*cosd(-alpha)],'LineWidth',2,'Color','k')

% Objekt
plot(T_r_O(1),T_r_O(2),'r','Marker','square')

% Roboterpose
plot(T_AMR(1,:),T_AMR(2,:),'bo')
for i=1:5
    quiver(T_AMR(1,i),T_AMR(2,i),T_AMR(1,2)-T_AMR(1,1),T_AMR(2,2)-T_AMR(2,1),'Color','b')
end

axis equal
xline(0) % Ursprung markieren
yline(0)

%% KOS-Trafo T->W
alpha = - alpha;
W_r_0S = [cosd(alpha) -sind(alpha) 0; sind(alpha) cosd(alpha) 0;0 0 1]*-T_r_OW(1:3); % Ursprung des S-KOS im W-KOS
D = [cosd(alpha) -sind(alpha) 0 W_r_0S(1); sind(alpha) cosd(alpha) 0 W_r_0S(2);0 0 1 W_r_0S(3);0 0 0 1] % Homogene Trafo
W_r_A = D*[A;1]; % Vektor zum Punkt A im W-KOS
W_r_B = D*[B;1]; % Vektor zum Punkt A im W-KOS

%% Innenlinie 
for i=1:length(InnenLinie.PosX)
    W_P = [InnenLinie.PosX(i);InnenLinie.PosY(i);InnenLinie.PosZ(i);1];
    W_InnenLinie(:,i)=D*W_P;
end
%% Aussenlinie
for i=1:length(AussenLinie.PosX)
    W_P = [AussenLinie.PosX(i);AussenLinie.PosY(i);AussenLinie.PosZ(i);1];
    W_AussenLinie(:,i)=D*W_P;
end
%% Startlinie
W_r_S = D * T_r_S;
W_Startlinie = [W_r_S W_r_S];
W_Startlinie(2,2)=0.83;

%% Objekt
W_r_O = D*T_r_O;

%% AMR
for i=1:5
    W_AMR(:,i) = D*T_AMR(:,i);
end

%% W-KOS
figure
plot(W_AussenLinie(1,:),W_AussenLinie(2,:),'k-')
hold on
plot(W_InnenLinie(1,:),W_InnenLinie(2,:),'b-')
% Startlinie
line(W_Startlinie(1,:),W_Startlinie(2,:),'LineWidth',2,'Color','k')

% Objekt
plot(W_r_O(1),W_r_O(2),'r','Marker','square')

% Roboterpose
plot(W_AMR(1,:),W_AMR(2,:),'bo')
for i=1:5
    quiver(W_AMR(1,i),W_AMR(2,i),W_AMR(1,2)-W_AMR(1,1),W_AMR(2,2)-W_AMR(2,1),'Color','b')
end
title('W-KOS')
xlabel('x_W in m')
ylabel('y_W in m')
axis equal
xline(0) % Ursprung markieren
yline(0)

%% KOS-Trafo W->F
F_r_O = W_r_O - W_AMR;

%% F-KOS
figure
hold on
quiver(0,0,0,6,'Color','blue') % xF
quiver(0,0,6,0,'Color','blue') % yF
text(0.1,5.8,'x_F','Color','blue')
text(5.8,0.1,'y_F','Color','blue')
plot(F_r_O(2,:),F_r_O(1,:),'r','Marker','square')
set(gca,'XDir', 'reverse')
title('F-KOS')
xlabel('y_F in m')
ylabel('x_F in m')
axis equal

→ zurück zum Hauptartikel: BSE Signalverarbeitende Systeme
→ weiter zum Artikel: Signalverarbeitende Systeme - SoSe25

Signalverarbeitende Systeme - L10: Koordinatentransformation: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 2. Juni 2025, 11:17 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Übung 10.1: KOS-Trafo: Rotation+Translation, Inverse Transformation

Übung 10.2: 2-fache Koordinatentransformation

Übung 10.3: Transformationsarithmetik

Übung 10.4: Darstellung der LiDAR Messdaten

Übung 10.5: KOS-Trafo: Homogene transformationsmatrix, Inverse Transformation

Navigationsmenü

Signalverarbeitende Systeme - L10: Koordinatentransformation: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 2. Juni 2025, 11:17 Uhr

Übung 10.1: KOS-Trafo: Rotation+Translation, Inverse Transformation

Übung 10.2: 2-fache Koordinatentransformation

Übung 10.3: Transformationsarithmetik

Übung 10.4: Darstellung der LiDAR Messdaten

Übung 10.5: KOS-Trafo: Homogene transformationsmatrix, Inverse Transformation

Navigationsmenü

Suche