Messkette Kamera: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 27. April 2021, 20:50 Uhr

Autor: Junjie Lyu
Betreuer: Prof. Schneider

Einleitung

In diesem Artikel wird ein Spurpolynom des Carolo Cup Fahrzeugs beschrieben. Daher befasst sich dieser Artikel mit der Berechnung des Spurpolynoms.

Regressionsanalyse[1]

Anleitung

Ziel der Regressionsanalyse am häugigsten ist es, Beziehung zwischen einer abhängigen und einer oder mehreren unabhängigen Variable festzustellen, um ein Vorhersagemodell zu erstellen. Wenn nun zusätzliche Werte x ohne zugehörigen Wert y vorliegen, dann kann das angepasste Modell zur Vorhersage des Wertes von y verwendet werden.

Polynomische Regression

Im Falle der polynomischen Regression vom Grad 2 wird die Funktion $\hat{y} = a \cdot \hat{x^{2}} + b \cdot \hat{x} + c$ unter der Bedingung gesucht, dass die Funktion

 $V (a, b, c) = \sum_{i = 1}^{k} (y_{i} - \hat{y_{i}})^{2} = \sum_{i = 1}^{k} (y_{i} - a \cdot x_{i}^{2} - b \cdot x_{i} - c)^{2} (1)$

der Summe der Quadrate der Abstände der tatsächlichen y-Werte von berechneten $\hat{y}$ -Werten ein Minimum hat. Zur Bestimmung der Konstanten $a, b, c$ in Gleichung (1) werden die partiellen Ableitungen $\frac{\partial V}{\partial a}$ , $\frac{\partial V}{\partial b}$ und $\frac{\partial V}{\partial c}$ gleich null gesetzt, um jeweils das minimum zu erhalten:

Partielle Ableitung nach  $a$ :
 $⟶ \frac{\partial V (a, b, c)}{\partial a} = 2 \cdot \sum_{i = 1}^{k} (y_{i} - a \cdot x_{i}^{2} - b \cdot x_{i} - c) \cdot (- x_{i}^{2})$ 
dividiert durch  $k$  ergibt:  $\overline{y_{i} x_{i}^{2}} = a \cdot \overline{x_{i}^{4}} + b \cdot \overline{x_{i}^{3}} + c \cdot \overline{x_{i}^{2}} (2)$

Partielle Ableitung nach  $b$ :

 $⟶ \frac{\partial V (a, b, c)}{\partial b} = 2 \cdot \sum_{i = 1}^{k} (y_{i} - a \cdot x_{i}^{2} - b \cdot x_{i} - c) \cdot (- x_{i})$ 
dividiert durch  $k$  ergibt:  $\overline{y_{i} x_{i}} = a \cdot \overline{x_{i}^{3}} + b \cdot \overline{x_{i}^{2}} + c \cdot \overline{x_{i}} (3)$

Partielle Ableitung nach  $c$ :

 $⟶ \frac{\partial V (a, b, c)}{\partial c} = 2 \cdot \sum_{i = 1}^{k} (y_{i} - a \cdot x_{i}^{2} - b \cdot x_{i} - c) \cdot (- 1)$ 
dividiert durch  $k$  ergibt:  $\overline{y_{i}} = a \cdot \overline{x_{i}^{2}} + b \cdot \overline{x_{i}} + c (4)$

Es entsteht wieder ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen $a, b, c$ ,dessen Lösung die optimalen Konstanten liefert:

 $a = \frac{(\overline{y_{i} x_{i}^{2}} - \overline{y_{i}} \cdot \overline{x_{i}^{2}}) \cdot (\overline{x_{i}^{2}} - (\overline{x_{i}})^{2}) - (\overline{y_{i} x_{i}} - \overline{y_{i}} \cdot \overline{x_{i}}) \cdot (\overline{x_{i}^{3}} - \overline{x_{i}} \cdot \overline{x_{i}^{2}})}{(\overline{x_{i}^{4}} - (\overline{x_{i}^{2}})^{2}) \cdot (\overline{x_{i}^{2}} - (\overline{x_{i}})^{2}) - (\overline{x_{i}^{3}} - \overline{x_{i}} \cdot \overline{x_{i}^{2}})^{2}}$ 
 $b = \frac{\overline{y_{i} x_{i}} - \overline{y_{i}} \cdot \overline{x_{i}} - a \cdot (\overline{x_{i}^{3}} - \overline{x_{i}} \cdot \overline{x_{i}^{2}})}{\overline{x_{i}^{2}} - (\overline{x_{i}})^{2}}$ 
 $c = \overline{y_{i}} - a \cdot \overline{x_{i}^{2}} - b \cdot \overline{x_{i}}$

Offline Modell

Online Modell

Literatur

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 Im Falle der polynomischen Regression vom Grad 2 wird die Funktion
 <math>\hat{y} = a \cdot \hat{x^{2}} + b \cdot \hat{x}+ c</math>
-unter der Bedingung gesucht, dass die Funktion<br> <math>V(a,b,c) = \sum_{i=1}^k (y_i-\hat{y_i})^2 = \sum_{i=1}^k(y_i-a \cdot x_i^2-b \cdot x_i - c)^2\qquad(1)</math>  <br>
+unter der Bedingung gesucht, dass die Funktion
+ <math>V(a,b,c) = \sum_{i=1}^k (y_i-\hat{y_i})^2 = \sum_{i=1}^k(y_i-a \cdot x_i^2-b \cdot x_i - c)^2\qquad(1)</math>  <br>
 der Summe der Quadrate der Abstände der tatsächlichen y-Werte von berechneten <math>\hat{y}</math> -Werten ein Minimum hat.
 Zur Bestimmung der Konstanten <math> a,b,c </math> in Gleichung (1) werden die partiellen Ableitungen <math>\frac{\partial V}{\partial a} </math>, <math>\frac{\partial V}{\partial b}  </math> und <math>\frac{\partial V}{\partial c}  </math> gleich null gesetzt, um jeweils das minimum zu erhalten:<br>
-  Partielle Ableitung nach <math>a</math>:<br>
+  Partielle Ableitung nach <math>a</math>:
   <math> \longrightarrow \frac{\partial V(a,b,c)}{\partial a}=2 \cdot \sum_{i=1}^k(y_i-a \cdot x_i^2-b \cdot x_i - c) \cdot (-x_i^2)  </math>
   dividiert durch <math> k </math> ergibt: <math> \quad \overline{y_i  x_i^2 } = a \cdot \overline{x_i^4 } + b \cdot \overline{x_i^3 } + c \cdot \overline{x_i^2 } \qquad (2) </math>
   Partielle Ableitung nach <math>b</math>:<br>
+ <math> \longrightarrow \frac{\partial V(a,b,c)}{\partial b}=2 \cdot \sum_{i=1}^k(y_i-a \cdot x_i^2-b \cdot x_i - c) \cdot (-x_i) </math>
-<math> \longrightarrow \frac{\partial V(a,b,c)}{\partial b}=2 \cdot \sum_{i=1}^k(y_i-a \cdot x_i^2-b \cdot x_i - c) \cdot (-x_i) </math>
   dividiert durch <math> k </math> ergibt: <math> \quad \overline{y_i  x_i} = a \cdot \overline{x_i^3 } + b \cdot \overline{x_i^2 } + c \cdot \overline{x_i } \qquad (3) </math>
   Partielle Ableitung nach <math>c</math>:<br>
-<math> \longrightarrow \frac{\partial V(a,b,c)}{\partial c}=2 \cdot \sum_{i=1}^k(y_i-a \cdot x_i^2-b \cdot x_i - c) \cdot (-1) </math>
+ <math> \longrightarrow \frac{\partial V(a,b,c)}{\partial c}=2 \cdot \sum_{i=1}^k(y_i-a \cdot x_i^2-b \cdot x_i - c) \cdot (-1) </math>
   dividiert durch <math> k </math> ergibt: <math> \quad \overline{y_i} = a \cdot \overline{x_i^2} + b \cdot \overline{x_i} + c \qquad (4) </math>
 Es entsteht wieder ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen <math>a,b,c</math>,dessen Lösung die optimalen Konstanten liefert:
-<math> a =  {{a+b} \over {a-b}}</math>
+ <math> a =  {{(\overline{y_i x_i^2} - \overline{y_i} \cdot \overline{x_i^2}) \cdot (\overline{x_i^2} -(\overline{x_i})^2)-(\overline{y_i x_i}- \overline{y_i} \cdot \overline{x_i}) \cdot (\overline{x_i^3}-\overline{x_i} \cdot \overline{x_i^2})} \over {(\overline{x_i^4}-(\overline{x_i^2})^2) \cdot (\overline{x_i^2}-(\overline{x_i})^2)-(\overline{x_i^3}-\overline{x_i} \cdot \overline{x_i^2})^2}}</math>
+ <math> b =  {{\overline{y_i x_i}-\overline{y_i} \cdot \overline{x_i} - a \cdot (\overline{x_i^3} - \overline{x_i} \cdot \overline{x_i^2}) } \over {\overline{x_i^2}-(\overline{x_i})^2}}</math>
+ <math> c = \overline{y_i} - a \cdot \overline{x_i^2} - b \cdot \overline{x_i} </math>

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