Signalverarbeitende Systeme - L10: Koordinatentransformation

Dozent:	Prof. Dr.-Ing. Schneider
Lehrveranstaltung:	Signalverarbeitende Systeme
Modul	Signalverarbeitende Systeme und Systems Design Engineering
Modulbezeichnung:	BSE-M-2-1.06
Modulverantwortung:	Prof. Ulrich Schneider
Vorlesung:	Invertierter Klassenraum, Montag, 10:00 - 11:30 Uhr
Übung:	Montag, 11:45 - 12:30 Uhr
Ort:	Labor L3.1-E00-120

Übung 10.1: KOS-Trafo: Rotation+Translation, Inverse Transformation

Das Lösungsvideo finden Sie auf der Lernplattform. Gegeben is der Ortsvektor zum Punkt P ${}^A{\overrightarrow{r}}_P$ sowie der Rotationswinkel $\gamma =50^{\circ }$ um die Z-Achse.

1. Führen Sie über eine homogene Translation eine Rotation um den Winkel $\gamma$ und eine Translation um den Vektor $\overrightarrow{T}$ aus.
2. Zeichnen Sie den transformierten Punkt Q und dessen Ortsvektor ${}^A{\overrightarrow{r}}_Q$ ein (vgl. Abb. 1).
3. Berechnen Sie anschließend die inverse Translation ${}^A{\overrightarrow{r}}_{P,2}$

Gegeben sind:

• ${}^A{\overrightarrow{r}}_P=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$
• $\overrightarrow{T}\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)$
• $\gamma =50^{\circ }$

Abb. 1: Ergebnisdarstellung der Übung 10.1

Arbeitsergebnis: KOStrafo.m

Musterlösung 10.1 

%% Gegeben
A_r_P = [1;2;3;1]; % Ortsvektor zum Punkt P in KOS A

% Translation
T = [2;2;0]'; % Translationsvektor
S = 1;        % Skalierungsfaktor
P = [0 0 0];  % Perspektiventrafo
Gamma = 50;   % Rotationswinkel im deg
R = [cosd(Gamma) -sind(Gamma) 0;sind(Gamma) cosd(Gamma) 0; 0 0 1];   % Rotationsmatrix

D = zeros(4,4); % Homogene Transformation
D(1:3,1:3)= R;
D(1:3, 4) = T;
D(4,4)    = S;
D(4,1:3)  = P

A_r_Q = D * A_r_P % KOS-Trafo

%% Inverse Transformation
A_r_P2 = inv(D)*A_r_Q

%% Ergebnisdarstellung
figure
hold on
quiver(0,0,1,0,'LineWidth',2,'Color','black','AutoScale','off'); % x-Achse
text(1.1,0,'X')
quiver(0,0,0,1,'LineWidth',2,'Color','black','AutoScale','off'); % y-Achse
text(0,1.1,'Y')
h1 = quiver(0,0,A_r_P(1),A_r_P(2),'LineWidth',2,'Color','r','AutoScale','off'); % Ursprungsvektor
plot(A_r_P(1),A_r_P(2),'ro')
text(A_r_P(1)+0.1,A_r_P(2),'P')
h2 = quiver(0,0,A_r_Q(1),A_r_Q(2),'LineWidth',2,'Color','b','AutoScale','off'); % Vektor nach Trafo
text(A_r_Q(1)+0.1,A_r_Q(2),'Q')
plot(A_r_Q(1),A_r_Q(2),'bo')
h3 = quiver(A_r_P(1),A_r_P(2),T(1),T(2),'LineWidth',2,'Color','y','AutoScale','off'); % Translationsvektor
axis equal
legend([h1,h2,h3],{'$^A\vec{r}_P$','$^A\vec{r}_Q$','$\vec{T}$'},'Interpreter','latex','Location','east')
text(-0.3,0,'\{A\}')
ylim([-0.3 4.5])

Übung 10.2: 2-fache Koordinatentransformation

Gegeben sind:

• ${}^A{\overrightarrow{r}}_P=\left(\begin{array}{c}-6,3411\\ -0,2345\\ -3\end{array}\right)$: Ortsvektor zum Punkt P im KOS A
• ${}^B{\overrightarrow{r}}_{0,A}=\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 0\end{array}\right)$: Translationsvektor KOS B zum KOS A im B-KOS
• ${}^C{\overrightarrow{r}}_{0,B}=\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 0\end{array}\right)$: Translationsvektor KOS C zum KOS B im C-KOS
• KOS A ist gegenüber KOS B um 10° um die Z-Achse gedreht.
• KOS B ist gegenüber KOS C um 10° um die Z-Achse gedreht.

Aufgaben:

• Bestimmen Sie die Vektoren ${}^B{\overrightarrow{r}}_P$ und ${}^C{\overrightarrow{r}}_P$.
• Erstellen Sie ein Ergebnisbild gemäß Abb. 2.

Abb. 2: Ergebnisdarstellung der Übung 10.2

Arbeitsergebnis: Transformationsarithmetik.m

Musterlösung 10.2  Das Lösungsvideo finden Sie auf der Lernplattform.

Übung 10.3: Transformationsarithmetik

Ein autonomes Fahrzeug erkennt mit einem hinten rechts montierten Infrarot-Sensor ein Objekt am Messpunkt M. Die Messung erfolgt im Sensorkoordinatensystem {S}. Dieses Fahrzeug besitzt ein körperfeste Koordinatensystem {K} mit dem Ursprung am Mittelpunkt des vorderen Stoßfängers. Die Position und Lage (Pose) des Fahrzeugs im Bezugskoordinatensystem {B} ist bekannt. Abb. 3 zeigt eine mögliche Situation.

Bestimmen Sie den Ortsvektor zum Objekt im Bezugskoordinatensystem ${}^B{\overrightarrow{r}}_M$ und zeichnen Sie mit MATLAB^®die Szene (vgl. Abb. 4) in den drei Koordinatensystemen

• Sensorkoordinatensystem {S},
• körperfestes Koordinatensystem {K} und
• Bezugskoordinatensystem {B} .

Hinweis: In der Fahrzeugtechnik wird die Z-Achse antiparallel zum Gravitationsvektor angenommen: ${}^0\overrightarrow{Z}\uparrow \downarrow \overrightarrow{g}$.

Abb. 3: Transformationsarithmetik

Abb. 4: Ergebnisdarstellung der Übung 10.3

Gegeben sind:

• ${}^S{\overrightarrow{r}}_M=\left(\begin{array}{c}0,4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ m: Messwert des IR-Sensors
• Der Winkel zwischen ${\overrightarrow{x}}_S$ und ${\overrightarrow{x}}_K$ beträgt 90°.
• ${}^B{\overrightarrow{r}}_{0,K}=\left(\begin{array}{c}3\\ -0,2\\ 0\end{array}\right)$ m
• Der Winkel zwischen ${\overrightarrow{x}}_K$ und ${\overrightarrow{x}}_B$ beträgt 10°.
• Das Objekt hat eine Länge von 30 cm und eine Breite von 20 cm.
• Das Fahrzeug hat eine Länge von 40 cm und eine Breite von 20 cm.
• Die detektierte Objektkante ist parallel zu ${\overrightarrow{x}}_B$ (${\overrightarrow{x}}_0||{\overrightarrow{x}}_B$).
• Der IR-Sensor erfasst die Längsseite des Objektes.

Arbeitsergebnis: TransformationsarithmetikMobileRobotik.m

Musterlösung 10.3  Das Lösungsvideo finden Sie auf der Lernplattform.

Übung 10.4: Darstellung der LiDAR Messdaten

Schreiben Sie ein Skript ZeigeMessdaten, welches die gemessenen Streckendaten der Datei LiDAR.mat darstellt.

Gehen Sie in nachfolgenden Schritten vor:

1. Laden Sie die Messdaten.
2. Stellen Sie die Messwerte der Datei (x,y) als rote Punkte dar.
3. Das KOS ist in Fahrtrichtung x-Positiv und die y-Achse zeigt nach links (vgl. Abb. 5).

Abb. 5: Ergebnisdarstellung der Übung 10.4

Notwendige Datei: LiDAR.mat

Nützliche Befehle: load, plot(x,y,'r.'), hold on, subplot, get, line, xlabel, ylabel

Musterlösung 10.4  Die Lösung wird in der Übung besprochen.

Übung 10.5: KOS-Trafo: Homogene transformationsmatrix, Inverse Transformation

Mit einem LiDAR Sensor der Firma topcon wird die Fahrt eines Roboters vermessen.

• Als digitale Karte liegen die Punkte des äußeren und inneren Fahrbahnrandes vor.
• Auf der Fahrbahn steht Objekt O.
• Der Roboter fährt geradlinig in der rechten Fahrspur vier mal je 1 m vorwärts.

Aufgaben:

1. Zeichnen Sie die Fahrbahn, Roboterpositionen, Objekt und Startlinie im Topcon-Koordinatensystem (T-KOS, vgl. Abb. 6).
2. Transformieren Sie Fahrbahn, Roboterpositionen, Objekt und Startlinie in das Welt-Koordinatensystem (W-KOS).
3. Zeichnen Sie die Fahrbahn, Roboterpositionen, Objekt und Startlinie im Welt-Koordinatensystem (vgl. Abb. 7).
4. Transformieren Sie das Objekt in das Fahrzeug-Koordinatensystem (F-KOS, vgl. Abb. 8).

Gegeben sind:

• ${}^T{\overrightarrow{r}}_{0,W}=\left(\begin{array}{c}-4,7710\\ 4,5473\\ 0,03\end{array}\right)$ m: Ursprung des W-KOS im T-KOS in m
• ${}^T{\overrightarrow{r}}_S=\left(\begin{array}{c}-4,1584\\ 2,8208\\ 0,03\end{array}\right)$ m: Punkt der Startlinie im T-KOS in m
• ${}^T{\overrightarrow{r}}_{AMR}=\left(\begin{array}{c}-3,9137\\ 2,7293\\ 0,03\end{array}\right)$ m: Startpunkt des AMR im T-KOS in m
• ${}^T{\overrightarrow{r}}_O=\left(\begin{array}{c}-1,8647\\ -1,8491\\ 0,03\end{array}\right)$ m: Objektposition im T-KOS in m

Abb. 6: Fahrbahn im T-KOS

Abb. 7: Fahrbahn im W-KOS

Abb. 8: Objektposition im F-KOS

Notwendige Dateien:

• AussenLinie.mat
• InnenLinie.mat

Vorlage 10.5 

%% Fahrbahnmarkierungen
load('InnenLinie.mat')
load('AussenLinie.mat')

%% Gegeben
T_r_OW  = [-4.7710;4.5473;0.03;1]  % Ursprung des W-KOS im T-KOS in m
T_r_S   = [-4.1584;2.8208;0.03;1]  % Punkt der Startlinie im T-KOS in m
T_r_AMR = [-3.9137;2.7293;0.03;1]  % Startpunkt des AMR im T-KOS in m
T_r_O   = [-1.8647;-1.8491;0.03;1] % Objektposition im T-KOS in m

Musterlösung 10.5  Die Lösung wird in der Übung besprochen.

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