MATLAB Repetitorium - Einführung

Autor:	Prof. Dr.-Ing. Schneider
Termin:	26.04.2024

Einstieg

Aufgabe 1.1

Quadrieren Sie die Zahlen 3, pi, −1 und i mithilfe des Operators „^“ und ziehen Sie aus den Ergebnissen jeweils die Wurzel.

Musterlösung 

% Aufgabe 1.1:
%   zi : Variable für die Zahl
%   qi : das Quadrat der Zahl
%   wi : die Wurzel aus dem Quadrat

z1 = 3
q1 = z1^2
w1 = sqrt( q1 )

z2 = pi
q2 = z2^2
w2 = sqrt( q2 )

z3 = -1
q3 = z3^2
w3 = sqrt( q3 )

z4 = i
q4 = z4^2
w4 = sqrt( q4 )

Aufgabe 1.2

Wählen Sie unterschiedliche Winkel w zwischen 0 und π. Berechnen Sie für jeden Winkel die Summe der Quadrate von sin(w) und cos(w).

Musterlösung 

% Aufgabe 1.2:
%   wi : verschiedene Winkel zwischen 0 und pi
%   ei : Summe von sin- und cos-Quadrat zu wi

w1 = 0
e1 = sin(w1)^2 + cos(w1)^2

w2 = pi
e2 = sin(w2)^2 + cos(w2)^2

w3 = pi/2
e3 = sin(w3)^2 + cos(w3)^2

w4 = pi/4
e4 = sin(w4)^2 + cos(w4)^2

w5 = pi/6
e5 = sin(w5)^2 + cos(w5)^2

Aufgabe 1.3

Erzeugen Sie das 1x5-Array sval, das die fünf Sinus-Werte für die Bogenmaß-Winkel 0, π/6, π/4, π/2 und π enthält. Führen Sie die gleichen Rechnungen für die Grad-Winkel 0, 30°, 45°, 90° und 180° durch. Hierzu müssen Sie die Winkel ins Bogenmaß umrechnen, da die MATLAB-Funktionen sin und cos ihre Argumente im Bogenmaß erwarten – zur Erinnerung: π entspricht 180°.

Versuchen Sie es auch einmal mit den Funktionen sind und cosd.

Musterlösung 

% Aufgabe 1.3:
%   rval : Array mit verschiedenen Winkeln

rval = [ 0, pi/6, pi/4, pi/2, pi ]
sval = [ sin(0), sin(pi/6), sin(pi/4), sin(pi/2), sin(pi) ]
frsin = sin( rval )
frcos = cos( rval )

c = pi/180
wval = [ 0, 30, 45, 90, 180 ]
cval = [ sin(0*c), sin(30*c), sin(45*c), sin(90*c), sin(180*c) ]
fwsin = sin( wval * c )

dval = [ sind(0), sind(30), sind(45), sind(90), sind(180) ]
fsind = sind( wval )

fcosd = cosd( wval )

Aufgabe 1.4

Was erhalten Sie, wenn Sie den Spaltenvektor v = [2;3] mit der Matrix A = [1 0;0 −1] multiplizieren? Was ist das Ergebnis von A * A?

Musterlösung 

% Aufgabe 1.4:

v = [2;3] 
A = [1 0; 0 -1]

A_v = A * v

A_A = A * A

Aufgabe 1.5

Erzeugen Sie einen Zeilenvektor, der als Komponenten nicht Zahlen, sondern Buchstaben enthält. Überprüfen Sie den Typ des Vektors mit der Funktion whos.

Tipp  Artikel zum thema String und Char

Musterlösung 

% Aufgabe 1.5:

s = [ 'H', 'e', 'l', 'l', 'o' ]

whos s

Aufgabe 1.6

1. Versuchen Sie, durch bewusst falsche Anweisungen Fehlermeldungen zu erzeugen, um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie MATLAB auf Fehler reagiert.
2. Verwenden Sie die Cursor-Tasten, um aus der Command History vorher bereits benutzte Befehle zu wiederholen und zu verändern.
3. Schauen Sie sich auch einmal den Workspace-Editor an, mit dem Sie zum Beispiel die Inhalte von Variablen mittels Copy & Paste nach MS-Excel übernehmen können.

Musterlösung 

% Aufgabe 1.6:
%   Beispiele für fehlerhafte Anweisungen

e0 = 3,4 * 3

e1 = 'Hello, 
      world'

e2 = [5 2] * [3 3]

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Symbolisches Rechnen

Hinweis: Statt * / ^ verwenden Sie .* ./ .^ (Punktoperator vor Operation anwenden):

Aufgabe 2.1

Definieren Sie folgende Funktionen mit Matlab (Befehle: syms)

$y=2x^2+12x^2+19x+9$
$y=-\frac{1}{58}(x^2-100x-416)$
$y=-\frac{(x-1)(x+5)}{(x+1)^2(x-3)}$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.1:
syms x y 
y = 2.*x.^3 + 12.*x.^2 + 19.*x + 9;
y = (-1./58)*(x.^2 - 100.*x -416);
y = ((x-1).*(x+5))./((x+1).^2 .* (x-3));
clear x y

Aufgabe 2.2

Multiplizieren Sie folgende Ausdrücke aus (Befehle: expand())

$(3x-2y)^3$
$(4x-y)^4$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.2:
syms x y 
expand((3.*x - 2.*y)^3);
expand((4.*x - y)^4);
clear x y

Aufgabe 2.3

Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke (Befehle: exp(), log(), simplify())

$sin(x)^2+cos(x)^2$
$e^{ln(x)}$
$\frac{a^2-b^2}{a-b}$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.3:
syms x y 
simplify(sin(x).^2 + cos(x).^2);
simplify(exp(log(x)));
simplify((x.^2 - y.^2)./(x-y));
clear x y

Aufgabe 2.4

Verwenden Sie simplify zur Ausführung der Polynomdivision P3/P1.

$P_3(x)=x^3-6x^2-x+6=0,\ P_1(x)=x-1$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.4:
syms x P1 P3
P1 = x - 1;
P3 = x.^3 - 6.*x.^2 - x + 6;
simplify(P3/P1);
clear x P1 P3

Aufgabe 2.5

Lösen Sie folgende Gleichungen (Befehl: sqrt(), log10(), solve()).

Hinweis: Benutzen Sie „==“ statt „=“

$11-\sqrt{x+3}=6$
$3^x=4^{x-2}\cdot 2^x$
$lg(6x+10)-lg(x-3)=1$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.5:
syms x
solve(11-sqrt(x+3) == 6, x);
solve(3.^x == 4.^(x-2) .* 2.^x, x);
solve(log10(6.*x + 10) - log10(x - 3) == 1, x);
clear x

Aufgabe 2.6

Berechnen Sie folgende Grenzwerte (Befehle: limit(), inf).

$^{lim}_{x\rightarrow 0}\frac{2x^2+5x}{3x}$
$^{lim}_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x}$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.6:
syms x
limit((2.*x^2 + 5.*x)./(3.*x),x,1);
limit(1./x,x,inf);
clear x

Aufgabe 2.7

Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung folgender Funktionen (Befehle: diff()).

$x^5\cdot \ln(x)$
$4\cdot \sin(x)\cdot \tan(x)$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.7:
syms y x
y = x.^5 + log(x);
ydiff = diff(y);
ydiffdiff = diff(ydiff);
subplot(121)
fplot(y);
subplot(122);
fplot(ydiff);

y = 4.*sin(x).*tan(x);
ydiff = diff(y);
ydiffdiff = diff(ydiff);
clear x y

Aufgabe 2.8

Berechnen Sie das unbestimmte Integral folgender Funktionen (Befehle: int()).

$\int\frac{3x^8}{x^3+1}dx$
$\int\frac{e^{2x}}{1+e^x}dx$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.8:
syms x
int((3.*x.^8)./(x.^3 +1),x);
int(exp(2.*x)./(1+exp(x)),x);
clear x

Aufgabe 2.9

Berechnen Sie das bestimmte Integral folgender Funktion (Befehle: int()).

$\int^1_0\frac{x}{(1+x^2)^2}dx$

Musterlösung 

% Aufgabe 2.9:
syms x y
int(x./((1 + x.^2).^2),x,0,1)
clear x y

Aufgabe 2.10

Für die Schnellen: Erkundigen Sie sich über folgende Berechnungen zur Funktionsanalyse bzw. Kurvendiskussion in Matlab (Befehle: diff(), subs(), solve(), vpa()):

1. Berechnen von lokalen Extremstellen
2. Berechnen von Wendestellen
3. Berechnen des y-Achsenabschnittes

Wenden Sie die Berechnungen auf die Aufgaben aus Teil 2.1 an.

Musterlösung 

% Aufgabe 2.10:
syms x y1 y2 y3 
y1 = 2.*x.^3 + 12.*x.^2 + 19.*x + 9;
y2 = (-1./58)*(x.^2 - 100.*x -416);
y3 = ((x-1).*(x+5))./((x+1).^2 .* (x-3));

%% y1
y1diff1 = diff(y1);
y1diff2 = diff(y1diff1);

ycrossY1 = subs(y1,0);
ycrossX1 = 0;

max = solve(y1diff1 == 0,x);
extremaX1 = vpa(max);
extremaY1 = subs(y1,extremaX1);

inflection = solve(y1diff2 == 0,x);
inflectionX1 = vpa(inflection);
inflectionY1 = subs(y1,inflectionX1);

subplot(131);
fplot(y1);
hold on;
plot(ycrossX1,ycrossY1,'b*');
hold on;
plot(extremaX1,extremaY1,'r*');
hold on;
plot(inflectionX1,inflectionY1,'g*');


%% y2
y2diff1 = diff(y2);
y2diff2 = diff(y2diff1);

ycrossY2 = subs(y2,0);
ycrossX2 = 0;

max = solve(y2diff1 == 0,x);
extremaX2 = vpa(max);
extremaY2 = subs(y2,extremaX2);

inflection = solve(y2diff2 == 0,x);
inflectionX2 = vpa(inflection);
inflectionY2 = subs(y2,inflectionX2);

subplot(132);
fplot(y2);
hold on;
plot(ycrossX2,ycrossY2,'b*');
hold on;
plot(extremaX2,extremaY2,'r*');
hold on;
plot(inflectionX2,inflectionY2,'g*');

%% y3
y3diff1 = diff(y3);
y3diff2 = diff(y3diff1);

ycrossY3 = subs(y1,0);
ycrossX3 = 0;

max = solve(y3diff1 == 0,x);
extremaX3 = vpa(max);
extremaY3 = subs(y3,extremaX3);

inflection = solve(y3diff2 == 0,x);
inflectionX3 = vpa(inflection);
inflectionY3 = subs(y3,inflectionX3);

subplot(133);
fplot(y3);
hold on;
plot(ycrossX3,ycrossY3,'b*');
hold on;
plot(extremaX3,extremaY3,'r*');
hold on;
plot(inflectionX3,inflectionY3,'g*');

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