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| [[Kategorie:HowTo]] | | [[Kategorie:HowTo]] |
| | [[Kategorie:Objekterkennung mit LiDAR]] |
| Autor: [[Benutzer:Ulrich_Schneider| Prof. Schneider]] | | Autor: [[Benutzer:Ulrich_Schneider| Prof. Schneider]] |
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| Hokuyo URG-04LX-UG01 Example | | Dieser Artikel erläutert, wie man einen '''Hokuyo URG-04LX-UG01''' Laserscanner in Matlab einbindet, einzelne Frames aufzeichnet und diese in einem Plot darstellt. Als Parameter können Start-, Endpunkt, Cluster Größe u.v.m. variiert werde. Im Skript muss die Nummer des verwendeten seriellen COM Ports angepasst werden, damit dieses funktioniert. |
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| https://de.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/63351-hokuyo-urg-04lx-ug01-example?focused=7813243&tab=example
| | == Sensorspezifikation == |
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| | == Parameterinitialisierung == |
| | The URG-04LX-UG01 has angular resolution of 1024 steps per 360 degrees. Its measurement range is from step 44 to 725 (-120°,120°), on the front of the sensor is step 384. |
| | <syntaxhighlight lang="matlab" style="background-color: #EFF1C1; font-size:small"> |
| | nStartPunkt = 44; |
| | nEndPunkt = 725; |
| | </syntaxhighlight> |
| | The measurements can be merged (grouped) into clusters by n steps. For ex. if cluster = 3, the sensor will send a minimum value from every 3 steps. |
| | <syntaxhighlight lang="matlab" style="background-color: #EFF1C1; font-size:larger"> |
| | nCluster = 1; |
| | </syntaxhighlight> |
| | Concatenate the command for measuring. In this example, 2-character encoding is used (maximum distance value is 4096 mm), hence parameter GS. For 3-char. encoding use parameter GD. |
| | <syntaxhighlight lang="matlab" style="background-color: #EFF1C1; font-size:larger"> |
| | stScanBefehl=strcat('GS',... |
| | num2str(nStartPunkt,'%04g'),... |
| | num2str(nEndPunkt,'%04g'),... |
| | num2str(nCluster,'%02g')); |
| | </syntaxhighlight> |
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| Die '''Fourier-Analysis''' (Aussprache: {{IPA|fuʁie}}), die auch als '''Fourier-Analyse''' oder '''klassische harmonische Analyse''' bekannt ist, ist die Theorie der [[Fourier-Reihe|Fourier-Reihen]] und [[Fourier-Transformation|Fourier-Integrale]]. Ihre Ursprünge reichen in das 18. Jahrhundert zurück. Benannt sind die Fourier-Analysis, die Fourier-Reihe und die Fourier-Integrale nach dem [[Frankreich|französischen]] Mathematiker [[Joseph Fourier|Jean Baptiste Joseph Fourier]], der im Jahr 1822 in seiner ''Théorie analytique de la chaleur'' Fourier-Reihen untersuchte.
| | == Aufbau der Verbindung == |
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| Die Fourier-Analysis ist in vielen Wissenschafts- und Technikzweigen von außerordentlicher praktischer Bedeutung. Die Anwendungen reichen von der [[Physik]] ([[Akustik]], [[Optik]], [[Gezeiten]], [[Astrophysik]]) über viele Teilgebiete der [[Mathematik]] ([[Zahlentheorie]], [[Statistik]], [[Kombinatorik]] und [[Wahrscheinlichkeitstheorie]]), die [[Signalverarbeitung]] und [[Kryptographie]] bis zu [[Ozeanographie]] und [[Wirtschaftswissenschaften]]. Je nach Anwendungszweig erfährt die Zerlegung vielerlei Interpretationen. In der Akustik ist sie beispielsweise die [[Frequenz-Transformation]] des Schalls in [[Oberschwingung]]en.
| | == Daten auslesen == |
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| Aus Sicht der [[Harmonische Analyse|abstrakten harmonischen Analyse]] sind sowohl die Fourier-Reihen und die Fourier-Integrale als auch die [[Laplace-Transformation]], die [[Mellin-Transformation]] oder auch die [[Walsh-Transformation]] (dabei werden die [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] durch die [[Walsh-Funktion]]en ersetzt) Spezialfälle einer allgemeineren (Fourier-)Transformation.
| | == Verbindung trennen == |
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| == Varianten der Fourier-Transformation == | | == Darstellung der Daten == |
| [[Datei:Diff Fourier-Analyse.svg|mini|hochkant=1.6|Zusammenhang von Zeit- und Frequenzbereich bei den vier möglichen Varianten der Fourier-Analyse mit zeitdiskretem/zeitkontinuierlichem Verlauf und spektral diskretem bzw. kontinuierlichem Verlauf. Zeitdiskrete Folge bzw. diskretes Spektrum bedingt auf der gegenüberliegenden Seite ein Spiegelspektrum bzw. eine periodische [[Fortsetzung (Mathematik)|Fortsetzung]].]]
| | S |
| Die verschiedenen Begriffe in diesem Zusammenhang werden leider in der Literatur nicht einheitlich gebraucht und es existieren mehrere Namen für den gleichen Vorgang. So nutzt man Fourier-Transformation sehr oft als Synonym der kontinuierlichen Fourier-Transformation, und mit Fourier-Analyse wird oft die Zerlegung in eine Fourier-Reihe gemeint, manchmal aber auch die kontinuierliche Transformation.
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| Je nach den Eigenschaften der zu untersuchenden Funktion gibt es vier Varianten, wie in nebenstehender Abbildung dargestellt:
| | Hokuyo URG-04LX-UG01 Example |
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| # Eine in einem endlichen Intervall periodische fortgesetzte Funktion kann in eine [[Fourier-Reihe]] zerlegt werden. Das Spektrum ist somit diskret.
| | https://de.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/63351-hokuyo-urg-04lx-ug01-example?focused=7813243&tab=example |
| # Ein Vorgang, der unperiodisch bis ins Unendliche reicht, erfordert die [[kontinuierliche Fourier-Transformation]] (auch Fourier-Integral). Dabei wird ein kontinuierliches Zeitsignal in ein kontinuierliches Spektrum transformiert.
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| # Sind von einem Vorgang nur Werte an [[Diskrete Teilmenge|diskreten]], äquidistanten Zeitpunkten in einem endlichen Intervall bekannt — durch diese Intervallbildung entsteht eine periodische Fortsetzung — wird die [[diskrete Fourier-Transformation]] (DFT) angewendet und ein diskretes Frequenzspektrum mit Spiegelspektren entsteht. Die DFT und deren Optimierungen in Form der [[Schnelle Fourier-Transformation|schnellen Fourier-Transformation]] (FFT) spielen in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] eine bedeutende Rolle. Ein Beispiel für einen solchen Vorgang ist ein Musikstück, von welchem zur Speicherung auf einer herkömmlichen Audio-[[Compact Disc|CD]] pro Sekunde 44.100 Amplitudenwerte des Audiosignals am Ausgang eines Mikrophons abgetastet werden.
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| # Mit der DFT verwandt aber nicht zu verwechseln ist die [[Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale]] ({{EnS|''discrete-time Fourier transform''}}, DTFT), welche ebenfalls von zeitlich diskreten Werten ausgeht, aber im Gegensatz zur DFT ein kontinuierliches Spektrum bildet. Sie ist damit für die Spektralanalyse auf Digitalcomputern nicht unmittelbar anwendbar, findet aber bei der theoretischen Analyse von Signalen im Spektrum Anwendung, da sich dabei das Spektrum statt in einer Folge unter Umständen als ein geschlossener mathematischer Ausdruck angeben lässt.<ref>[http://www.uni-koblenz.de/~physik/informatik/DSV/DFT.pdf Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale (DTFT)] (PDF; 783 kB), studentischer Seminarvortrag, Universität Koblenz-Landau, 2005</ref>
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| Man erhält bei allen Transformationen ein [[Frequenzspektrum]], das je nach Variante diskret (unendlich scharfe Linien) oder kontinuierlich ist:
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| {| class="wikitable"
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| ! Variante
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| ! [[Definitionsmenge]] von x
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| ! [[Periodizität]] von x
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| ! [[Frequenzspektrum]]
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| |-
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| | [[Fourier-Reihe]]
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| | kontinuierliches Intervall
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| | periodisch
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| | diskret
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| |-
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| | [[Kontinuierliche Fourier-Transformation]]
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| | kontinuierlich
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| | aperiodisch
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| | kontinuierlich
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| |-
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| | [[Diskrete Fourier-Transformation]] (DFT)
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| | diskret, endlich
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| | aperiodisch, periodisch fortgesetzt
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| | diskret, endlich
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| |-
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| | [[Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale]] (DTFT)
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| | diskret, endlich
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| | aperiodisch
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| | kontinuierlich
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| |}
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| === Fourierreihen ===
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| {{Hauptartikel|Fourierreihe}}
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| Jede [[Stetig_differenzierbar|stetig differenzierbare]] Funktion, die auf dem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[0,T]</math> definiert ist, lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln, das heißt, beide Seiten der Transformation existieren. Mit der Grundfrequenz <math>F=1/T</math> und den [[Kreisfrequenz]]en <math>\omega_k=k(2\pi F)</math> gilt:
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| :<math>
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| \hat x_k=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{T}x(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\,\omega_k t}\mathrm d\,t
| |
| \quad \text{und} \quad
| |
| x(t)={\sqrt{2\pi}F}\sum_{k=-\infty}^\infty \hat x_k\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\omega_kt}
| |
| </math>.
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| Es können allgemeinere Typen von Funktionen in eine Fourier-Reihe entwickelt werden, so abschnittsweise stetige, beschränkte Funktionen oder allgemeiner [[messbare Funktion|messbare]] [[Lp-Raum|quadratintegrable]] Funktionen.
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| ====Sprungstellenverfahren für Polygonzüge====
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| <ref>{{Literatur | Titel = Grundlagen der Elektrotechnik | Autor = H. Haase, H. Garbe, H. Gerth | Verlag = Schöneworth Hannover | Seiten = 314ff | Jahr = 2009 | ISBN = 978-3-9808805-5-8 }}</ref>
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| Bei einem periodischen Polygonzug <math>x(t)</math> (Punkte durch gerade Linien verbunden) liefern die Knick- und eventuell vorhandene Sprungstellen die Beiträge zu den Fourierkoeffizienten
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| :<math>c_k=\frac{1}{\text{i}\pi k}\left(\sum_{k=1}^{r}s_i\text{e}^{-\text{i}\omega_kt_i}+\frac{1}{\text{i}\omega_k}\sum_{k=1}^{r'}s'_i\text{e}^{-\text{i}\omega_kt'_i}\right)</math> für <math>k = 1, 2, \dots, \infty</math>.
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| Mit diesen und dem Mittelwert einer Periode
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| :<math>x_0=\frac{1}{2T}\sum_{i=1}^{n-1}(x_i^++x_{i+1}^-)(t_{i+1}-t_i)</math>
| |
| lässt sich die Ausgangsfunktion als die harmonische Summe
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| :<math>x(t)=x_0+\sum_{k=1}^{\infty}|c_k|\cos\left(\omega_kt+\arg c_k\right)</math>
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| synthetisieren.
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| Die Abszissen <math>t_i</math> der <math>n</math> Stützwerte <math>x_i</math> (bei Sprüngen: Stützwertpaare <math>x^-_i</math> und <math>x^+_i</math>) müssen in derselben Periode liegen, aufsteigend geordnet sein und <math>t_n<t_1+T</math> erfüllen.
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| Die Wertsprünge
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| :<math>s_i=x^+_i-x^-_i</math>
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| an den <math>r</math> Sprungstellen werden jeweils als Differenz ihres rechts- und linksseitigen Grenzwerts <math>x^+_i</math> bzw. <math>x^-_{i}</math> berechnet, die Ableitungssprünge
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| :<math>s'_{i}=\frac{\text{d}x}{\text{d}t} (t_{i}'^{+}) - \frac{\text{d}x}{\text{d}t}(t_{i}'^{-})</math>
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| an den <math>r'</math> Knickstellen analog als Differenz der rechts- und linksseitigen ersten Ableitung.
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| Die Koeffizienten <math>c_k</math> betragen das <math>\sqrt{2/\pi}</math>-fache der <math>\hat{x}_k</math>-Werte; bei dieser Eichung der Fourierkoeffizienten sind die Amplituden der Harmonischen ''gleich'' den Beträgen von <math>c_k</math>.
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| === Kontinuierliche Fourier-Transformation ===
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| {{Hauptartikel|Kontinuierliche Fourier-Transformation}}
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| Die kontinuierliche Fourier-Transformation ist definiert durch
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| :<math>\mathcal{F}_{t \omega}\{x(t)\} = \hat x(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty x(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t} \,\mathrm dt</math>
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| Die Rücktransformation lautet dazu:
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| :<math>
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| \mathcal{F}_{\omega t}^{-1}\{\hat x(\omega)\}
| |
| = x(t)
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| = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty \hat x(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} \,\mathrm d\omega
| |
| </math>
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| In der Literatur findet man auch andere Definitionen, die als Vorfaktor statt <math>\tfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}</math> nur <math>\tfrac{1}{2 \pi}</math> oder 1 haben. Dies hängt von den jeweils verwendeten Normierungskonventionen ab. Die hier verwendete Variante hat den ästhetischen Vorteil, dass der Vorfaktor bei Hin- und Rücktransformation gleich ist. Außerdem vereinfacht sie die Darstellung des [[Satz von Parseval|Satzes von Parseval]]:
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| : <math>\int_{-\infty}^\infty \left|x(t)\right|^2 \,\mathrm dt = \int_{-\infty}^\infty \left|\hat x(\omega)\right|^2 \,\mathrm d\omega</math>.
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| Diese Bedingung ist zum Beispiel in der Physik wichtig für die Energieerhaltung durch die Fourier-Transformation. Mathematisch gesehen bedeutet die Gleichung, dass die Fourier-Transformation eine [[unitäre Abbildung]] ist, was unter anderem in der [[Quantenmechanik]] fundamental ist.
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| Manchmal, zum Beispiel in der Signaltheorie, bevorzugt man die – ebenfalls energieerhaltende – Version der Fourier-Transformation, bei der die – auch ''Spektralfunktion'' genannte – Fourier-Transformierte von der Frequenz statt der Winkelgeschwindigkeit abhängt:
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| :<math>\mathcal{F}_{t \nu}\{x(t)\} = \hat x(\nu)= \int_{-\infty}^\infty x(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} 2 \pi \nu t} \,\mathrm dt</math>.
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| Die Beziehung zwischen beiden Arten der Fourier-Transformation wird durch <math>\nu = \tfrac{\omega}{2 \pi}</math> vermittelt.
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| Die Rücktransformation lautet dann
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| :<math>\mathcal{F}_{\nu t}^{-1}\{\hat x(\nu)\} = x(t)= \int_{-\infty}^\infty \hat x(\nu) \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi \nu t} \, \mathrm d\nu</math>.
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| Da hier über die Variable <math>\nu</math> statt <math>\omega</math> integriert wird, entfällt in dieser Darstellungsform der Vorfaktor.
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| === Diskrete Fourier-Transformation ===
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| {{Hauptartikel|Diskrete Fourier-Transformation}}
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| Es gibt keine Einschränkungen in der Anwendung der Transformation und der Entwicklungsformel. Sind <math>F, T</math> positive Zahlen mit <math>FT=1/N</math>, und sind <math>M, L</math> beliebige ganzzahlige Verschiebungen, so kann eine allgemeinere Variante der Transformationsformeln angegeben werden. Mit <math>t_n=nT</math> und <math>\omega_k=k(2\pi F)</math> gilt
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| :<math>\hat x_k=T\sum_{n=-M}^{N-M-1}x_n \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_kt_n}</math>
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| und
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| :<math>x_n=F\sum_{k=-L}^{N-L-1}\hat x_k \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_kt_n}.</math>
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| Zur Berechnung der diskreten Fourier-Transformation wird oft die [[schnelle Fourier-Transformation]] (FFT) verwendet, ein Algorithmus, bei dem die Anzahl der Rechenschritte zur Berechnung der Fourier-Koeffizienten wesentlich kleiner ist als bei einer direkten Implementation der Integration.
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| == {{Anker|Fourier-Synthese}} Fourier-Synthese ==
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| Alle Transformationen, die in der Fourier-Analysis betrachtet werden, haben die Eigenschaft, dass eine entsprechende inverse Transformation existiert. In den [[Ingenieurwissenschaft|Ingenieurwissenschaften]], der [[Physik]] und der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] nennt man das Zerlegen einer Funktion in ihr Spektrum ebenfalls Fourier-Analyse. Der Begriff beschreibt also nicht nur dieses Teilgebiet der Funktionalanalysis, sondern auch den Prozess der Zerlegung einer Funktion. Das Darstellen der Ausgangsfunktion mit Hilfe des Spektrums aus der Fourier-Analyse wird als Fourier-Synthese bezeichnet. Da diese Begriffsbildung besonders in den angewandten Wissenschaften üblich ist, tritt diese auch eher im Zusammenhang mit der diskreten Fourier-Transformation und der schnellen Fourier-Transformation auf.
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| == {{Anker|Anwendungen}} Anwendungen ==
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| [[Datei:Fourier_transform_time_and_frequency_domains_(small).gif|frame|right|Anschauliche Darstellung der Fourier-Transformation aus dem Zeitbereich, dargestellt in rot, in den Frequenzbereich, dargestellt in blau. Aufgrund der Periodizität des Zeitsignals treten nur einzelne Spektralkomponenten im Frequenzbereich auf]]
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| Die Fouriertransformation besitzt vor allem in den [[Ingenieurwissenschaften]], wie der [[Signalverarbeitung]] und in der [[Physik]], bedeutende Anwendungsbereiche. Dabei werden auch spezielle Begriffe und [[Nomenklatur]]en verwendet:
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| ;Zeitbereich: ({{enS|''time domain''}}) Erfolgt die Analyse oder Darstellung in Abhängigkeit von der Zeit, spricht man vom Zeitbereich. Beschreibt die veränderliche Variable eine Position im Raum (z. B. bei der [[Digitale Bildverarbeitung|digitalen Bildverarbeitung]]) wird er auch als ''Ortsbereich'' oder ''Ortsraum'' bezeichnet.
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| ;Zeitsignal: Unter einem Zeitsignal versteht man die Beschreibung des Signalverlaufs im Zeitbereich, d. h. als Funktion der Zeit.<ref>{{Literatur | Titel = Einführung in die Nachrichtentechnik | Autor = Martin Bossert | Verlag = Oldenbourg Wissenschaftsverlag | Seiten = 90 - 92 | Jahr = 2012 | ISBN = 978-3-486-70880-6 }}</ref> Man verwendet den Ausdruck Zeitsignal auch im Zusammenhang mit der [[Fourier-Transformation]], wenn man sich ausdrücklich auf die Rücktransformierte bezieht. D. h. wenn klargestellt werden soll, dass sich die nun folgende Beschreibung nicht auf das Spektrum des Signals bezieht.
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| ;Frequenzbereich: Als Frequenzbereich oder -raum ({{enS|''frequency domain''}}) wird der Bildbereich nach erfolgter Transformation (z. B. durch [[Fourier-Transformation|Fourier-]] oder [[Laplace-Transformation]]) bezeichnet. Diese Bezeichnungen gehen auf Arbeiten aus Ende der 1940er Jahre am [[Massachusetts Institute of Technology|MIT Research Laboratory of Electronics]] zurück.<ref name="mit1"/>
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| In technisch motivierten Anwendungen wird der Bezug zwischen dem Zeitbereich mit der Originalfunktion <math>x(t)</math> und dem Frequenzbereich mit der Bildfunktion <math>X(j\omega)</math> auch mit folgender Symbolik dargestellt:
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| :<math> x(t) \circ\!\!-\!\!\bullet X(j\omega)</math>
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| In der Physik stellt die Fouriertransformation in der Wellenmechanik die Verknüpfung zwischen Zeitbereich und [[Frequenz]]raum dar. Werden statt Zeitsignale Signale als Funktion des Ortes betrachtet, stellt die Fouriertransformation eine Verknüpfung zwischen dem Ortsraum und den im Frequenzraum vorhandenen [[Ortsfrequenz]]en bzw. Wellenzahlen dar. In mehreren Dimensionen werden die Wellenzahlen in Form von [[Wellenvektor]]en beschrieben. In der Kristallographie heißt der zum Ortsraum reziproke Frequenzraum [[reziproker Raum]].
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| In der [[Quantenmechanik]] entsprechen, bis auf einen Proportionalitätsfaktor, die Wellenzahlen dem [[Impuls]] des Teilchens, woraus sich ein Zusammenhang mit der [[Heisenbergsche Unschärferelation]] ergibt. Da Orts- und Impulsraum durch die Fouriertransformation verknüpft sind, führt die Verknüpfung der Ausdehnungen zu einer Unschärfe. Analog ergibt sich auch die Energie-Zeit-Unschärfe aus der Fouriertransformation, wobei hier die Frequenz bis auf den Proportionalitätsfaktor der Energie entspricht und somit eine Verknüpfung von Energie und Zeit durch die Fouriertransformation gegeben ist, die zu einer Unschärfe führt.
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| == Geschichte ==
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| Schon ab 1740 diskutierten Mathematiker wie [[Bernoulli]] und [[d’Alembert]] die Möglichkeit, periodische Funktionen als trigonometrische Reihen darzustellen. Die heute bekannte Reihenentwicklung für periodische Funktionen geht auf den französischen Mathematiker Fourier zurück. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts veröffentlichte er sein Werk ''Théorie analytique de la chaleur'', in dem er davon ausgeht, dass jede Funktion in eine trigonometrische Reihe entwickelt werden könne. Er benutzte diese Reihen insbesondere zum Lösen der [[Wärmeleitungsgleichung]]. In diesem Werk führte er auch die kontinuierliche Fourier-Transformation in Form einer [[Kosinus-Transformation]] ein. Mit dieser versuchte er die Wärmeleitungsgleichung auf unbeschränkten Mengen insbesondere auf der reellen Achse zu lösen.<ref>[[Jean Baptiste Joseph Fourier]]: ''Théorie analytique de la chaleur''. Chez Firmin Didot, père et fils 1822 ({{Google Buch|BuchID=TDQJAAAAIAAJ|Linktext=Volltext}}).</ref>
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| [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] untersuchte diese trigonometrischen Reihen, die heute Fourier-Reihen heißen, weiter und konnte erste [[Konvergenz (Mathematik)|Konvergenzeigenschaften]] beweisen. So konnte er 1829 zeigen, dass die Fourier-Reihe [[Punktweise Konvergenz|punktweise konvergiert]], wenn die Ausgangsfunktion [[lipschitz-stetig]] ist. Zur exakten Berechnung der Fourier-Koeffizienten führte [[Bernhard Riemann]] dann seinen [[Riemann-Integral|Integralbegriff]] ein und entdeckte 1853 das Lokalisationsprinzip. Das besagt, dass die Konvergenz beziehungsweise Divergenz sowie gegebenenfalls der Wert der Fourier-Reihe einer Funktion <math>f</math> bei <math>x</math> durch das Verhalten von <math>f</math> in einer beliebig kleinen Umgebung von <math>x</math> eindeutig bestimmt ist.<ref name="Spektrum">{{Literatur |Titel=Fourier-Analyse |Autor=Chr. Schmid |Herausgeber=Guido Walz |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Jahr=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref>
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| Erst 1876 fand [[Paul Du Bois-Reymond]] eine stetige Funktion, deren Fourier-Reihe nicht punktweise konvergiert.<ref name="DuBois" /> In [[Satz von Fejér|seinem Satz]] konnte [[Leopold Fejér|Fejér]] 1904 jedoch zeigen, dass die Fourier-Reihe für jede stetige Funktion im [[arithmetisches Mittel|arithmetischen Mittel]] konvergiert. Im Jahr 1915 warf [[Nikolai Nikolajewitsch Lusin]] die Frage auf, ob die Fourier-Reihe für jede Funktion <math>f \in L^2</math> konvergiert. Dies konnte erst 1968 von [[Lennart Carleson]] positiv beantwortet werden und [[Hunt]] verallgemeinerte 1968 das Ergebnis auf Funktionen <math>f \in L^p</math> mit <math>p > 1</math>. Die Voraussetzung <math>p > 1</math> ist allerdings wesentlich, wie das Beispiel einer integrierbaren Funktion mit überall divergenter Fourier-Reihe, das [[Kolmogorow]] 1926 fand, zeigt.<ref name="Spektrum" />
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| Da die Fourier-Transformation auch außerhalb der Mathematik einen großen Anwendungsbereich hat, ist man an einem [[Algorithmus]] interessiert, mit dem ein Computer die [[Fourier-Koeffiziente|Fourier-Koeffizienten]] mit möglichst wenig Aufwand berechnen kann. Solche Verfahren nennt man Schnelle Fourier-Transformation. Der bekannteste Algorithmus stammt von [[James Cooley]] und [[John W. Tukey]], die ihn 1965 veröffentlichten. Jedoch wurde ein Algorithmus schon 1805 von [[Carl Friedrich Gauß]] entwickelt. Er benutzte ihn zur Berechnung der Flugbahnen der Asteroiden [[(2) Pallas]] und [[(3) Juno]]. Zum ersten Male wurde eine Variante des Algorithmus von [[Carl Runge]] im Jahre 1903 beziehungsweise 1905 veröffentlicht. Darüber hinaus wurden vor Cooley und Tukey schon eingeschränkte Varianten der schnellen Fourier-Transformation veröffentlicht. So hat zum Beispiel [[Irving John Good]] 1960 ebenfalls einen solchen Algorithmus veröffentlicht.<ref name="Spektrum" />
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| == Mathematische Motivation ==
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| === Mathematische Grundlagen ===
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| Wir betrachten stetige, von der Zeit ''t'' reell abhängige Funktionen bzw. Vorgänge (z. B. als vektorwertige Funktionen) ''f(t)'', die sich nach einer Zeit <math>T</math> wiederholen, also periodisch mit Periode ''T'' sind, ''f(t+T)=f(t)''.
| |
| [[Joseph Fourier]] postulierte in seiner Arbeit, dass sich ''f'' aus periodischen, harmonischen Schwingungen, also Sinus- oder Kosinusfunktionen, verschiedener Phase und Amplitude und genau definierter Frequenz zusammensetzen lässt. Betrachten wir eine solche zusammengesetzte Funktion mit ''(N+1)'' Summanden:
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| | |
| :<math>\begin{align}
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| f(t) &= A_0 + A_1 \cos(\omega t + \varphi_1) + A_2 \cos(2 \omega t + \varphi_2) + \cdots + A_N \cos(N \omega t + \varphi_N) \\
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| &= \sum_{n=0}^N A_n \cos (n \omega t + \varphi_n)
| |
| \end{align}</math>
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| Die einzelnen Schwingungen haben die [[Kreisfrequenz]] <math>n\omega</math>, also die Frequenz <math>n\omega/2\pi</math>. Damit hat die erste Schwingung (Grundschwingung) die Frequenz <math>1/T</math>, die nächsten <math>2/T</math>, <math>3/T</math>, …
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| Weil ein Sinus nur ein phasenverschobener Kosinus ist, konnte die Reihendarstellung auf Kosinus-Funktionen beschränkt werden. Wir erhalten sofort auch die Sinusterme, wenn wir die [[Additionstheoreme_(Trigonometrie)#Additionstheoreme|Additionstheoreme]] benutzen:
| |
| :<math>\begin{align}
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| f(t) &= \sum_{n=0}^N A_n \cos (n \omega t + \varphi_n) \\
| |
| &=A_0+\sum_{n=1}^N (\,\underbrace{A_n\cos \varphi_n}_{=a_n}\cdot\cos(n \omega t)-\underbrace{A_n\sin \varphi_n}_{=b_n}\cdot\sin(n \omega t))
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Zusammen mit <math>a_0:=A_0</math> erhalten wir eine phasenfreie Darstellung
| |
| | |
| :<math> f(t) = a_0+\sum_{n=1}^N (a_n \cos(n \omega t) - b_n\sin(n\omega t)).
| |
| </math>
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| Im nächsten Schritt soll die Summe mit Hilfe [[Komplexe Zahlen|komplexer Zahlen]] umgeschrieben werden. Es sind dann komplexe Koeffizienten erlaubt, und die Reihe wird komplexwertig. Sofern [[Reelle Zahlen|reelle]] Funktionen betrachtet werden, kann diese als Realteil der Summe zurückgewonnen werden. Aus der [[Eulersche Formel|Euler-Formel]] oder auch nach der [[Exponentialfunktion#Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen|Definition der trigonometrischen Funktionen mit der Exponentialfunktion]] folgt
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| | |
| :<math> \cos (x) = \frac{1}{2} \left( \mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x} \right) </math> und <math> \sin (x) = \frac{1}{2 \mathrm{i}} \left( \mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x} \right) </math>,
| |
| | |
| somit
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| | |
| :<math>\begin{align}
| |
| f(t) &= a_0+\sum_{n=1}^N \frac12 \left( a_n (\mathrm{e}^{\mathrm{i}n \omega t} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}n \omega t}) - { 1 \over \mathrm{i} } b_n (\mathrm{e}^{\mathrm{i}n \omega t} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}n \omega t})\right)\\
| |
| &= a_0+\sum_{n=1}^N \frac12 \left( a_n (\mathrm{e}^{\mathrm{i}n \omega t} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}n \omega t})+\mathrm{i}b_n (\mathrm{e}^{\mathrm{i}n \omega t} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}n \omega t})\right) \\
| |
| &= a_0+\sum_{n=1}^N \frac12\left( (a_n+\mathrm{i}b_n)\mathrm{e}^{\mathrm{i}n \omega t}+(a_n-\mathrm{i}b_n)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}n \omega t}\right)
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Mit den komplexen Koeffizienten <math>c_0:=a_0</math>, <math>c_n:=\tfrac12(a_n+\mathrm{i}b_n)</math> und <math>c_{-n}:=\tfrac12(a_n-\mathrm{i}b_n)</math> für ''n>0'' erhalten wir eine Summe mit auch negativen Indizes
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| :<math>
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| f(t) = \sum_{n=-N}^N c_n \mathrm{e}^{\mathrm{i}n \omega t }
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| </math>
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| === Fourier-Reihe ===
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| Wir kennen jetzt also die trigonometrische Summe in verschiedenen Darstellungen. Es war aber gefragt, eine periodische stetige Funktion mittels solch einer Summe zu approximieren. Dazu stellen wir fest, dass die komplexen Koeffizienten <math>c_n</math>, und damit auch die der anderen Darstellungen, sich aus der Summenfunktion zurückgewinnen lassen.
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| Dazu wird die obige Gleichung mit <math>\mathrm{e}^{-\mathrm{i} m \omega t}</math> multipliziert und sodann auf beiden Seiten über dem Intervall <math>[0,T]</math>, d. h. über eine Periode integriert. Mit Umformungen erreicht man folgende Aussage:
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| :<math>\begin{align}
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| e^{-\mathrm{i} m \omega t} f(t)
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| &= \sum_{n=-N}^N c_n \left( \mathrm{e}^{\mathrm{i}n \omega t} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} m \omega t} \right)
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| =\! \sum_{n=-N-m}^{N-m} c_{n+m} \mathrm{e}^{\mathrm{i} (n+m) \omega t - \mathrm{i} m\omega t}
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| \\ &=\! \sum_{n=-N-m}^{N-m} c_{n+m} \mathrm{e}^{\mathrm{i} n \omega t }
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| \end{align}</math>
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| Daraus folgt
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| :<math>
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| \int_0^T \mathrm{e}^{-\mathrm{i} m \omega t} f(t) \mathrm dt
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| \,=\! \sum_{n=-N-m}^{N-m} c_{n+m} \int_0^T \mathrm{e}^{\mathrm{i} n \omega t } \mathrm dt
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| </math>
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| Für das <math>n</math>-te Integral auf der rechten Seite gilt:
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| :<math>
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| \int_0^T \mathrm{e}^{\mathrm{i} n \omega t } \mathrm dt = \begin{cases}
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| T & \text{für } n=0 \\
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| \displaystyle\ \frac1{\mathrm{i}n \omega } (\!\!\!\overbrace{\mathrm{e}^{\mathrm{i} n\omega T }}^{\quad=\mathrm{e}^{2\pi\mathrm i n}=1} \!\!\!\!- 1) = 0
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| & \text{für } n\ne 0
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| \end{cases}
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| </math>
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| Es liefert also nur der Summand für n=0 einen Beitrag, es vereinfacht sich das Integral also zu
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| :<math>\int_0^T \mathrm{e}^{-\mathrm{i} m \omega t} f(t) \mathrm dt
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| \;=\! \sum_{n=-N-m}^{N-m} c_{n+m} \int_0^T \mathrm{e}^{\mathrm{i}n \omega t} \mathrm dt
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| =Tc_m
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| </math>
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| :<math>
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| \Leftrightarrow c_m = \frac1T \int_0^T f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} m \omega t} \mathrm dt
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| </math>
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| Wir können nun versuchen, die trigonometrische Summe durch eine beliebige stetige periodische Funktion ''f'' zu ersetzen, die Koeffizienten nach obigen Formeln zu bestimmen und die mit diesen Koeffizienten gebildeten trigonometrischen Summen mit der
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| Ausgangsfunktion vergleichen:
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| :<math>\begin{align}
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| f_N(t) :=\sum_{n=-N}^N c_n\mathrm{e}^{in\omega t}
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| &=\frac1T \sum_{n=-N}^N \int_0^T f(s) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} n \omega s} \, \mathrm ds\;\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\omega t}
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| \\ &=\frac1T \int_0^T \sum_{n=-N}^N f(s) \mathrm{e}^{\mathrm{i} n \omega (t-s)} \, \mathrm ds
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| \\ &=\int_0^T \frac1TS_N(\omega(t-s)) f(s) \, \mathrm ds
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| \end{align}</math>
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| Mit dem [[Dirichlet-Kern]]
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| :<math>S_N(\tau):=\sum_{n=-N}^N (\mathrm{e}^{\mathrm{i} \tau})^n=\frac{\sin((N+\frac12)\tau)}{\sin(\frac12\tau)}</math>
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| === Aperiodische Vorgänge (Fourier-Integral) ===
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| Voraussetzung für die hergeleitete Fourier-Reihe ist die Periodizität von <math>f(t)</math> über dem Zeitintervall <math>T</math>. Selbstverständlich gibt es auch nichtperiodische Funktionen, die diese Voraussetzung für kein endliches Zeitintervall erfüllen.
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| Wie schon gezeigt, hat die <math>n</math>-te Oberschwingung die Frequenz <math>n/T</math>.
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| Die Differenz der <math>n</math>-ten Oberfrequenz von der vorherigen ist <math>n/T - (n-1)/T = 1/T</math>, das heißt, die Oberfrequenzen haben den Abstand <math>1/T</math>. Für <math>T</math> gegen unendlich geht ihr Abstand gegen Null – die Summe wird im Grenzfall zum [[Riemann-Integral]].
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| Das Fourier-Integral, die kontinuierliche Fourier-Transformation, ist also gegeben durch
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| :<math>
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| f(t)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty a(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} \, \mathrm d \omega
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| </math>
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| mit
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| :<math>
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| a(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t} \, \mathrm dt.
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| </math>
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| Aus der Folge <math>a_n</math> ist nun das kontinuierliche Spektrum <math>a(\omega)</math> geworden. Man bezeichnet genau genommen die zweite Transformation als Fourier-Transformation, die erste, deren inverse, ist die Fourier-Synthese.
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| Die zweite Gleichung kann analog wie für die Reihe hergeleitet werden.
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| Das angegebene Beziehungspaar gilt u. a. erneut für quadratintegrierbare Funktionen.
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| == Differentialgleichungen ==
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| Die Fourier-Transformation wird oft eingesetzt, um [[Differentialgleichung]]en zu lösen. Denn die <math>\mathrm{e}^{i n x}</math> bzw. die <math>\sin(n x), \cos(n x)</math> sind [[Eigenfunktion]]en der Differentiation, und die Transformation wandelt lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten in normale algebraische Gleichungen um.
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| So ist zum Beispiel in einem linearen zeitinvarianten physikalischen System die [[Frequenz]] eine Erhaltungsgröße, und das Verhalten kann für jede Frequenz einzeln gelöst werden. Die Anwendung der Fourier-Transformation auf die Differentialgleichung ergibt den [[Frequenzgang (System) | Frequenzgang]] des Systems.
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| == Abstrakte harmonische Analyse ==
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| {{Hauptartikel|Harmonische Analyse}}
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| Die abstrakte harmonische Analyse ist die Weiterentwicklung der Fourier-Analysis auf [[Lokalkompakter Raum|lokalkompakte]] [[Topologische Gruppe|topologische Gruppen]]. Auf diesen Gruppen kann man mit Hilfe des [[Haar-Maß|Haar-Maßes]], das das [[Lebesgue-Maß]] als Spezialfall umfasst, ein Integral definieren. Zentral in der abstrakten harmonischen Analyse ist der Begriff der Charakters, der von [[Lew Semjonowitsch Pontrjagin]] eingeführt wurde. Das ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus <math>\chi \colon G \to \mathrm{S}^1</math> von der lokalkompakten, abelschen Gruppe <math>G</math> in die [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]]. In Analogie zu linearen [[Funktional|Funktionalen]] und den [[Dualraum|Dualräumen]] bilden ihre Gesamtheit die Dualgruppe <math>\widehat{G}</math>. Der Begriff Dualgruppe wird durch den [[Pontrjagin-Dualität|Dualitätssatz von Pontrjagin]] gerechtfertigt. Aus Sicht der abstrakten harmonischen Analyse versteht man dann unter der Abbildung
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| :<math>\begin{align}
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| \mathcal{F}(f) \colon \widehat{G} &\rightarrow {\mathbb C},\\
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| \mathcal{F}(f)(\chi) &= \int_G f(x) \overline{\chi(x)}\mathrm{d} \lambda(x)
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| \end{align}</math>
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| die Fourier-Transformation. Wählt man <math>G = \R</math> und <math>\chi_z(x) = e^{i x z}</math> so ist <math>\widehat{G} = \R</math> und man erhält die klassische kontinuierliche Fourier-Transformation. In der abstrakten harmonischen Analyse gibt es genauso wie in der klassischen Fourier-Analysis für diese Transformation auch eine Rücktransformation. Außerdem umfasst diese abstrakte Fourier-Transformation auch die Fourier-Reihe sowie die [[Laplace-Transformation]], die [[Mellin-Transformation]] und [[Liste der Fourier-Transformationen#Kontinuierliche_Transformationen|andere Transformationen]] als Spezialfälle.
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| == Einzelnachweise ==
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| <references>
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| <ref name="mit1">{{Internetquelle | url= http://18.7.29.232/bitstream/handle/1721.1/4912/RLE-TR-141-04718321.pdf?sequence=1 | titel= The Application of Correlation Functions in the Detection of Small Signals in Noise | autor= Y.W. Lee, T.P. Cheatham Jr., J.B. Wiesner | hrsg= MIT Research Laboratory of Electronics | werk= Technical Report Nr. 141 | datum= 1949-10-13 | zugriff=2013-07-30 }}</ref>
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| <ref name="DuBois">Paul Du Bois-Reymond: ''Untersuchungen über die Convergenz und Divergenz der Fourierschen Darstellungsformeln'', Abhandlungen der Mathematisch-Physicalischen Classe der K. Bayerische Akademie der Wissenschaften, 1876, Volume 13, Seite 1-103</ref>
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| </references>
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| == Literatur ==
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| * [[Elias M. Stein]], Rami Shakarchi: ''Princeton Lectures in Analysis.'' Band 1: ''Fourier Analysis. An Introduction.'' Princeton University Press, Princeton NJ 2003, ISBN 0-691-11384-X.
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| == Weblinks ==
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| * [http://tonecirc.de/page29/page_29.htm Fourier- und Wavelettransformation einmal anders erklärt]
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| * {{cite web | url=http://www.fh-meschede.de/public/ries/Fouriertransf.pdf | title=Grundlagen der Fourier-Transformation | accessdate=2014-11-15 | author=Sigmar Ries | format=PDF | archiveurl=https://web.archive.org/web/20131002094358/http://www.fh-meschede.de/public/ries/Fouriertransf.pdf | archivedate=2013-10-02}}
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